Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям Ржавинская Белякова Жаркова
.pdfВоспользуемся формулами Эйлера
e(α+iβ)x = eαxeiβx = eαx (cosβx + i sin βx) = eαx cosβx + i eαx sin βx.
Привлекая теорему 3.3, получим, что: y1 = eαx cosβx и y2 = eαx sinβx - частные решения уравнения (3.35).
Самостоятельно докажите, что y1 и y2 линейно независимы на любом отрезке [a, b]. Таким образом, каждой паре комплексных сопряженных характеристических корней
k1,2 = α ± iβ соответствуют два действительно-значных решения y1 и y2.
Тогда (теорема 3.6)
n
yобщ = C1eαx cosβx + C2eαx sinβx + å yk .
k =3
Пример 3.11. Найти общее решение дифференциального уравнения
y'' – 2y' + 2y = 0 (3.45)
Характеристическое уравнение для (3.45):
k2 – 2k + 2 = 0.
Его корни: k1,2 = 1 ± i.
Вместо функций e(1+i)x и e(1−i)x возьмем y1 = excos x, y2 = exsin x. Тогда
yобщ = c1excos x + c2exsin x.
Замечание. В случае кратных комплексных характеристических корней k1 = α + iβ и k2= α + iβ кратности r фундаментальную систему решений составят
eαx cos βx, xeαx cos βx, …, xr–1eαx cos βx
и
eαx sin βx, xeαx sin βx, …, xr−1eαx sin βx.
Пример 3.12. Найти общее решение дифференциального уравнения
y(4) + 2y'' + y = 0. (3.46)
Характеристическое уравнение для (3.46):
k4 + 2k2 + 1 = 0.
Его корни: k1,2 = i; k3,4= −i, фундаментальная система решений:
y1 = cos x; y2 = sin x; y3 = x cos x; y4 = x sin x; yобщ = c1 cos x + c2 sin x + c3 x cos x + c4 x sin x.
63
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение
y(n) + p1(x) y(n−1) + … + pn(x) y = f(x). |
(3.47) |
Как и прежде, обозначим правую часть в |
(3.47) через L[y(x)]; |
L - дифференциальный оператор, L :C[na,b] → C[a,b] . Мы доказали, что L - линейный опера-
тор. |
|
Уравнение (3.47) можно записать в виде |
|
L[y] = f (x). |
(3.48) |
Теорема 3.7. Сумма любого решения линейного неоднородного дифференциального уравнения L[y] = f(x) с любым решением соответствующего однородного L[y] = 0 является решением линейного неоднородного дифференциального уравнения L[y] = f (x).
Доказательство. Пусть y1(x) - решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (3.48), y2(x) - решение соответствующего однородного: L[y] = 0.
Рассмотрим функцию y(x) = y1(x) + y2(x). |
|
|
Имеем L[y(x)] = L[y1(x)+ y2(x)] |
= |
L[y1(x)] + L[y2(x)]. |
|
L − линейный |
|
Так как L[y1(x)] = f(x), а L[y2(x)] = 0, то функция y(x) = y1(x) + y2(x) является решением уравнения (3.48).
Теорема 3.8 (принцип суперпозиции). Пусть y1(x), …, yr(x) - решения линейных дифференциальных уравнений L[y] = f1(x), …, L[y] = fr(x) соответственно.
Тогда функция y(x) = y1(x) + … + yr(x) является решением уравнения
L[y] = f1(x) + … + fr(x).
Доказательство. Имеем |
|
|
L[y(x)] = L[y1(x) + … + yr(x)] |
= |
L[y1(x)] + … + L[yr(x)] = |
|
L − линейный |
|
= f1(x) + … + fr(x).
Утверждение теоремы 3.8 справедливо.
Теорема 3.9 (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференци-
ального уравнения). Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение y(n) + p1(x)y(n–1) + … + pn(x)y = f(x). (3.49)
Коэффициенты pi(x), i = 1, …, n, и f(x) - непрерывные на отрезке [a, b] функции. Тогда
yобщ. неодн = yобщ. одн + yчаст. неодн. |
(3.50) |
64
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Доказательство. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение, соответствующее (3.49):
L[y] = 0. |
(3.51) |
Пусть y1, …, yn - фундаментальная система решений уравнения (3.51). Тогда (теорема
3.6)
yобщ. одн = c1y1(x) + … + cnyn(x). |
|
Пусть yr - произвольное частное решение уравнения (3.49). |
|
Рассмотрим функцию |
|
y(x) = c1y1(x) + … + cnyn(x) + yr. |
(3.52) |
При любых c1, …, cn функция y(x) является решением уравнения (3.49) (теорема 3.7). Доказать, что функция (3.52) - общее решение уравнения (3.49) означает доказать, что
любое решение (3.49) можно записать в виде (3.52). Произвольное решение возьмем, задав начальные условия. Пусть x0 Î[a,b]
y(x0) = y0,…, y'(x0) = y0',…, y(n–1)(x0) = y0(n–1). (3.53)
Потребуем, чтобы функция (3.52) удовлетворяла начальным условиям (3.53):
|
|
ì c y (x ) +...+ c |
|
y |
n |
(x ) + y |
r |
(x ) = y |
0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
ï |
1 1 |
0 |
|
|
|
|
n |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï c1y1(x0 ) + ...+ cn yn (x0 ) + yr (x0 ) = y0 |
|
(3.54) |
|||||||||||||||||||||
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(n−1) (x ) + y |
|
|
|
(x ) = y(n−1). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ïc y(n−1) (x ) + ...+ c |
n |
(n−1) |
|||||||||||||||||||||
|
|
î |
1 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
0 |
|
r |
|
|
0 |
0 |
|||
Перепишем систему уравнений (3.54) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ì c y (x ) + ...+ c |
n |
y |
n |
(x ) = y |
0 |
- y |
r |
(x ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
ï |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
= y0 |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
||
ï c1y1(x0 ) +...+ cn yn (x0 ) |
- yr (x0 ) |
|
|
|
|
(3.55) |
|||||||||||||||||||
í |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(n−1) (x ) = y(n−1) |
|
|
|
|
||||||||||||
ïc y(n−1) (x ) + ...+ c |
n |
- y |
(n−1) |
(x ). |
|||||||||||||||||||||
î |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
r |
0 |
|||
Система (3.55) - система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных c1, …, cn с определителем
|
y1(x0 )...yn (x0 ) |
|
|
|||
D = |
y'1 (x0 )...y'n (x0 ) |
=W [y1,..., yn ] |
¹ 0 . |
|||
|
|
... |
|
|||
|
|
|
|
|
Теор. 3.5 |
|
|
yn−1 |
(x )...yn−1 |
(x ) |
|
|
|
|
1 |
0 |
n |
0 |
|
x= x0 |
|
|
|||||
|
|
|||||
Следовательно, система (3.55) имеет единственное решение c1, …, cn.
Таким образом, единственное решение задачи Коши, которое удовлетворяет условиям (3.53), может быть записано в виде (3.52). Следовательно, (3.52) - общее решение дифференциального уравнения (3.47).
65
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Пример 3.13. Проинтегрировать дифференциальное уравнение |
|
y'' + y = x. |
(3.56) |
Соответствующее однородное |
|
y'' + y = 0.
Его характеристические корни: k1,2 = ±i и yобщ. одн = с1 cos x + c2 sin x. Частное решение (3.56) подберем: yr = x (подставив в (3.56) yr = x, проверим, что это действительно частное решение).
Тогда по теореме 3.9 yобщ. неодн = с1cos x + c2sin x + x.
3.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение
a |
0 |
(x) y(n) |
+ |
a (x) y(n−1) |
+ K + |
a |
n |
(x) y |
= |
f (x) , |
(3.57) |
|
|
1 |
|
|
|
|
где a0, a1, …, an - действительные постоянные, a0 ≠ 0. По теореме 3.9
yобщ. неодн = yобщ. одн + yч. неодн.
В некоторых случаях частное решение уравнения (3.57) удается легко подобрать. Случай 1а. Справа в уравнении (3.57) многочлен порядка s, и уравнение (3.57) имеет
вид
a |
0 |
(x) y(n) |
+ |
a (x) y(n−1) |
+ K + |
a |
n |
(x) y |
= |
A xs |
+ K + |
A , (3.58) |
|
|
1 |
|
|
0 |
s |
причем an ≠ 0.
Частное решение уравнения (3.58) ищем в виде многочлена того же порядка s, что и правая часть в (3.58) с некоторыми неизвестными коэффициентами - “неопределенными коэффициентами” (этот способ нахождения частного решения так и называется - “Метод неопределенных коэффициентов”).
yч = B0 xs + … + Bs–1 x + Bs.
Имеем
y |
ч |
= B xs + ... + x2B |
+ xB |
|
+ B ; |
|
||||
|
0 |
|
s−2 |
|
s−1 |
|
s |
|
||
y′ |
= sB xs−1 |
+ ... + 2xB |
|
+ B |
|
; |
|
|||
|
ч |
0 |
|
s−2 |
|
s−1 |
|
|
||
y′′ = s(s −1)B xs−2 |
+ ... + 2B |
|
; |
|
(3.59) |
|||||
|
ч |
|
0 |
|
|
s−2 |
|
|
||
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
y(s)ч = s!B0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(если s < n, yч(s+1) = K= yч(n) |
= 0). |
|
||||||||
Подставляем выражения (3.59) в (3.57) и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x
66
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
x |
s |
a B = A |
- определяем B , |
|
|
n 0 |
0 |
0 |
|
xs−1 |
anB1 |
+ an−1sB0 = A1 |
- находим B1, |
|
... |
|
... |
|
|
x0 |
anBs + an−1Bs−1 +... = As - находим Bs. |
|||
Пример 3.14. Проинтегрировать дифференциальное уравнение |
|
y" + y = x2 + x. |
(3.60) |
Соответствующее однородное |
|
y" + y = 0. |
(3.61) |
Его характеристическое уравнение: k2 + 1 = 0, характеристические корни: k1,2 = ± i. Общее решение однородного уравнения (3.61):
yобщ. одн = c1 cos x + c2 sin x.
Так как коэффициент при y равен a2 = 1 ≠ 0, частное решение уравнения (3.60) ищем в виде многочлена второго порядка с неопределенными коэффициентами B0, B1, B2:
yч = B0 x2 + B1 x + B2.
Имеем y'ч = 2B0 x + B1; y''ч = 2B0. Подставляем в (3.60) выражения для yч, y'ч, y''ч и получаем
2 B0 + B0 x2 + B1 x + B2 = x2 + x.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x
x2 |
B |
=1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
B1 |
=1 |
|
|
|
x0 |
2B + B = 0 Þ B = -2B = -2, |
||||
|
|
0 |
2 |
2 |
0 |
откуда yч = x2 + x – 2. Общее решение уравнения (3.60)
yобщ. неодн = с1 cos x + c2 sin x + x2 + x – 2.
Замечание. Требование, чтобы an ≠ 0 означает, что число k = 0 не является характеристическим корнем дифференциального уравнения (3.58).
Случай 1б. Правая часть в уравнении (3.57) - многочлен порядка s, но an = 0. Пусть также an–1 = … = an−r+1 = 0, an−r ≠ 0, т.е. уравнение (3.57) имеет вид
a |
0 |
(x)y(n) + ... + a |
n−r |
y(r) = A xs + ... + A . |
(3.62) |
|
|
|
0 |
s |
|
||
Вэтом случае число k = 0 является характеристическим корнем кратности r.
Всамом деле, характеристическое уравнение для (3.62)
a0k n + ... + an−r k r = 0 , или k r (a0k n−r |
+ ... + an−r ) = 0 |
Þ Þ k1 = ... = kr = 0 . |
||||
Полагаем y(r) = z(x) и для функции z(x) |
получаем дифференциальное уравнение |
|||||
a |
0 |
z(n−r) + ...+ a |
n−r |
z = A xs + ... + A . |
(3.63) |
|
|
|
0 |
s |
|
||
Тем самым свели интегрирование уравнения (3.62) к случаю 1а.
67
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Частное решение дифференциального уравнения (3.63) ищем в виде zч = B0xs + ...+ Bs ,
находим коэффициенты B0, …, Bs и r раз интегрируем:
|
xs+1 |
|
|
|
|
~ |
~ |
|
||
y(r −1) = B |
|
|
+ ...+ B x + B |
= B xs+1 |
+ ...+ B |
; |
||||
s +1 |
||||||||||
0 |
|
s |
s+1 |
|
0 |
s+1 |
|
|||
|
~ |
|
|
|
~ |
|
~ |
. |
(3.64) |
|
y = B xs+r + ... + B |
|
x + B |
||||||||
|
0 |
|
s+r −1 |
s+r |
|
|
||||
Так как младшая производная в (3.62) порядка r, можно в (3.64) считать, что
~ |
~ |
~ |
= 0 |
и |
yч = x |
r |
~ |
s |
~ |
Bs+r = Bs+r −1 |
= ... = Bs+1 |
|
(B0x |
|
+ ...+ Bs ) . (3.65) |
||||
Тогда, минуя замену y(r) = z(x) , решение уравнения (3.62) можем искать в виде (3.65) -
многочлена того же порядка s, что правая часть в (3.62) с неопределенными коэффициентами, домноженного на xr, где r - кратность корня k = 0 в характеристическом уравнении.
Пример 3.15. Проинтегрировать дифференциальное уравнение |
|
y" + y' = x − 2. |
(3.66) |
Соответствующее однородное |
|
y" + y' = 0.
Его характеристическое уравнение k2 + k = 0, характеристические корни: k1 = 0, k2 = –1 и
yобщ. одн = C1 + C2e–x.
Так как k = 0 является корнем кратности r = 1, частное решение уравнения (3.66) ищем в виде
yч = x (ax + b).
Имеем y'ч = 2ax + b, y''ч = 2a. Подставляем y'ч и y''ч в (3.66) 2a + 2ax + b = x –2.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x
x |
|
2a =1 |
Þ a = |
1 |
, |
|
|||||
|
2 |
||||
x0 |
|
|
|
|
|
|
2a + b = -2 Þ b = -3; |
||||
|
|
||||
yч = 12 x2 − 3x.
Общее решение уравнения (3.66) получаем в виде
yобщ.неодн = C1 + C2e− x + 12 x2 − 3x .
Случай 2. Правая часть уравнения (3.57) - многочлен порядка s, умноженный на экспоненту epx. Уравнение (3.57) выглядит следующим образом:
a0y(n) + a1y(n−1) + … + any = epx(A0xs + … + As). (3.67)
Замена y (x) = epx z(x) преобразует уравнение (3.67) к виду (см. подразд. 3.3):
68
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
epx(b0z(n) + … + bn) = epx(A0xs + … + As),
или |
|
b0z(n) + b1z(n−1) + … + bn = A0xs + … + As. |
(3.68) |
При этом, если k = p - характеристический корень уравнения (3.67) кратности r, то λ = 0 - характеристический корень дифференциального уравнения (3.68) той же кратности r, и обратно.
Итак, если k = p не является характеристическим корнем (λ = 0 не является характеристическим корнем для (3.68)), то
zч = B0xs + …+ Bs
и, следовательно,
yч = epx(B0xs + …+ Bs).
Если же k = p - характеристический корень кратности r (λ = 0 - характеристический корень (3.68) кратности r), то
zч = xr(B0xs + …+ Bs)
и
yч = xr epx(B0xs + …+ Bs). |
|
Пример 3.16. Проинтегрировать дифференциальное уравнение |
|
y" + y = 10e3x. |
(3.69) |
Соответствующее однородное
y" + y = 0.
Его характеристическое уравнение: k2 + 1 = 0, характеристические корни: k1,2 = ±i. Тогда yобщ. одн = C1 cos x + C2 sin x.
Число k = 3 не является характеристическим корнем, поэтому ищем частное решение уравнения (3.69) в виде yч = C e3x.
Находим y'ч = 3C e3x, y"ч = 9C e3x и подставляем yч, y'ч, y''ч в уравнение (3.69): 9C e3x + C e3x = 10 e3x,
откуда 10 С = 10 и С = 1, а yч = e3x.
Тогда
yобщ = C1 cos x + C2 sin x + e3x.
Пример 3.17. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
y" − y = ex (x −1). |
(3.70) |
Соответствующее однородное: y" − y = 0. Его характеристическое уравнение: k2 − 1 = 0, характеристические корни: k1,2 = ±1
69
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
yобщ. одн = C1 ex + C2 e−x.
Так как k = 1 является характеристическим корнем кратности r = 1, частное решение yч ищем в виде
yч = xex(ax + b) = ex(ax2 + bx).
Имеем
y'ч = (2ax + b) ex + (ax2 + bx) ex;
y"ч = 2a ex + 2(2ax + b) ex + (ax2 + bx) ex.
Подставляем yч, y'ч, y''ч в уравнение (3.70)
(2a + 4ax + 2b + ax2 + bx − ax2 − bx)ex = ex (x −1) ,
или
(2a + 4ax + 2bx)ex = ex (x −1) ,
или
(2a + 4ax + 2bx) = (x −1) .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
4a =1 |
|
|
Þ |
|
a = |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
2a + 2b = -1 Þ 2b = - |
Þ b = - |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yч |
= ( |
1 |
x |
2 |
- |
3 |
x)e |
x |
= |
1 |
xe |
x |
(x - 3) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и |
y |
общ.неодн |
= C ex |
+ C |
e− x + 1 xex (x - 3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 3.18. Проинтегрировать дифференциальное уравнение |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y" + y' = x – 2 + 2 xex. |
(3.71) |
||||||||||||||||
Правая часть уравнения (3.71) не является правой частью специального вида, но можно сослаться на теорему 3.8 и рассмотреть два дифференциальных уравнения:
y" + y' = x – 2 |
(3.72) |
и |
|
y" + y' = 2 xex, |
(3.73) |
каждое из которых уже является уравнением с правой частью специального вида. Соответствующее однородное и для (3.72) и для (3.73) одно и то же:
y" + y' = 0,
70
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
частное решение для уравнения (3.71) равно сумме частного решения yч1 уравнения (3.72) (оно найдено в примере 3.15: yч1 = 12 x2 − 3x ) и частного решения yч2 для уравнения (3.73), ко-
торое ищем в виде yч2 = (ax + b)ex. Имеем
y'ч2 = a ex + (ax + b)ex; y''ч2 = 2a ex + (ax + b)ex.
Подставляем yч, y'ч, y''ч в уравнение (3.73)
2a ex + (ax + b)ex + a ex + (ax + b)ex = 2xex
и получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a = 2 Þ a = 1, 3a + 2b = 0 |
Þ b = − |
3 |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
yч2 = (x − |
3 |
)ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, общее решение уравнения (3.71) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y = C1 + C2e− x + |
1 x2 |
− 3x + xex − |
3 |
ex . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Случай 3. Пусть дано дифференциальное уравнение |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a0 y(n) + a1y(n−1) + ... + an y = P(x)eαx cosβx + Q(x)eαx sin βx .(3.74) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
По формулам Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
e(α+iβ)x |
= eαx cosβx + ieαx sinβx ; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
e(α−iβ)x |
= eαx cosβx − ieαx sinβx . |
|
|
|
|
|
||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
eαx cosβx = |
e(α+iβ)x + e(α−iβ)x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
(3.75) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
eαx sinβx = |
e(α+iβ)x − e(α−iβ)x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2i |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив выражения (3.75) в правую часть уравнения (3.74), придем к уравнению: |
||||||||||||||||||||
a0 y |
(n) |
+ a1y |
(n−1) |
ˆ |
|
|
(α+iβ)x |
|
ˆ |
|
(α−iβ)x |
.(3.76) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ ... + an y = P(x)e |
|
|
+ Q(x)e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если P(x) - многочлен степени s1, Q(x) - многочлен степени s2, то |
ˆ |
ˆ |
- много- |
|||||||||||||||||
P(x) и |
Q(x) |
|||||||||||||||||||
члены степени s, где s = max{s1, s2}.
Привлекая теорему 3.8, как при интегрировании уравнения (3.71) в примере 3.18, рассмотрим два дифференциальных уравнения:
|
a0 y |
(n) |
+ a1y |
(n−1) |
ˆ |
|
(α+iβ)x |
(3.77) |
|
|
|
|
+ ... + an y = P(x)e |
|
|
||||
и |
a0 y |
(n) |
+ a1y |
(n−1) |
ˆ |
(α−iβ)x |
. |
(3.78) |
|
|
|
+ ... + an y = Q(x)e |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Напомним, что коэффициенты в уравнении (3.57) предполагаются действительными, поэтому комплексные характеристические корни встречаются сопряженными парами.
Повторяя рассуждения, приведенные при рассмотрении случая 2, можно прийти к следующему результату.
Если числа k1 = α + iβ и k2 = α − iβ не являются характеристическими корнями, частные решения уравнений (3.77) и (3.78) можно искать в виде
yч1 = R(x)e(α+iβ)x ; yч2 = T (x)e(α−iβ)x ,
где R(x) и T (x) - многочлены степени s с неопределенными коэффициентами, если
k1 = α + iβ и k2 = α − iβ - характеристические корни кратности r, частные решения уравне-
ний (3.77) и (3.78) следует искать в виде
yч1 = xr R(x)e(α+iβ)x ; yч2 = xrT (x)e(α−iβ)x . |
|
Частное решение уравнения (3.76) будет равно их сумме |
|
yч = yч1 + yч2. |
(3.79) |
Воспользуемся еще раз формулами Эйлера и теоремой 3.3 применительно к функции
(3.79).
Итак, если числа k1,2 = α ± iβ не являются характеристическими корнями дифференци-
ального уравнения (3.74), частное решение уравнения (3.74) ищем в виде
ˆ |
αx |
ˆ |
αx |
sinβx . |
yч = R(x)e |
|
cosβx + T (x)e |
|
Если k1,2 = α ± iβ являются характеристическими корнями кратности r, частное решение уравнения (3.74) имеет вид
|
|
yч = x |
r |
ˆ |
|
αx |
ˆ |
αx |
sin βx) . |
|
|
|
(R(x)e |
|
cosβx + T (x)e |
|
|||
ˆ |
ˆ |
- многочлены степени s, где s = max{s1, s2} с неопределенными коэф- |
|||||||
Здесь R(x) и |
T (x) |
||||||||
фициентами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.19. Проинтегрировать дифференциальное уравнение |
|||||||||
|
|
|
|
|
y" + 4y = cos2x. |
|
(3.80) |
||
Соответствующее однородное
y" + 4y = 0.
Его характеристическое уравнение k2 + 4 = 0, характеристические корни: k1,2 = ±2i
yобщ. одн = C1 cos2x + C2 sin2x.
Для того чтобы считать правую часть дифференциального уравнения (3.80) правой частью специального вида в случае 3, мы должны подобрать α, β, P(x) и Q(x) такие, чтобы выполнялось равенство
72
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com