Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям Ржавинская Белякова Жаркова
.pdf
Тогда функция | f (x) g(x) | интегрируема на отрезке [a, b] и справедлива оценка
b |
b |
|
1 b |
1 |
|
|
|
ò| |
f (x)g(x) | dx≤(ò| |
f (x) |p dx) |
p |
(ò| g(x) |q dx) |
q |
. |
(2.6) |
a |
a |
|
|
a |
|
|
|
(Без доказательства.)
Пример 2.7. Множество X - совокупность всех функций, непрерывных на отрезке [a, b]. Расстояние определяется равенством
b |
1 |
ρ(x(t), y(t)) = (ò(x(t) − y(t))2 dt)2 .
a
Доказать, что (X , ρ) - метрическое пространство.
Аксиомы 1 и 2 расстояния очевидны. Неравенство треугольника принимает вид
b |
1 |
b |
1 |
b |
1 |
|
(ò(x(t) − z(t))2 dt) 2 |
≤ (ò(x(t) − y(t))2 dt) 2 |
+ (ò(y(t) − z(t))2 dt) 2 |
(2.7) |
|||
a |
|
a |
|
a |
|
|
для любых x(t), y(t), z(t), непрерывных на отрезке [a, b].
Так как обе части неравенства (2.7) неотрицательны, возведем их в квадрат и будем доказывать эквивалентное неравенство
b |
|
b |
(ò(x(t) − z(t))2 dt) ≤ (ò(x(t) − y(t))2 dt) + |
||
a |
|
a |
b |
b |
|
+ 2(ò(x(t) − y(t))2 dt)(ò(y(t) − z(t))2 dt) + (òab(y(t) − z(t))2 dt ). (2.8) |
||
a |
a |
|
Имеем |
|
|
b |
|
b |
ò(x(t) − z(t))2 dt = ò(x(t) − y(t) + y(t) − z(t))2 dt = |
||
a |
|
a |
= òab[(x(t) − y(t))2 + 2(x(t) − y(t))(y(t) − z(t)) + (y(t) − z(t))2 ]dt = |
||
b |
b |
b |
= ò(x(t) − y(t))2 dt + 2ò(x(t) − y(t))(y(t) − z(t))dt + ò( y(t) − z(t))2 dt . |
||
a |
a |
a |
Интегральное неравенство Гёльдера (2.6) при p = 2 имеет следующий вид:
b |
b |
|
1 |
b |
|
1 |
|
ò (x(t) - y(t))(y(t) - z(t))dt £ |
(ò |
(x(t) - y(t))2 dt ) 2 |
(ò |
( y(t) - z(t))2 dt ) 2 . |
|||
a |
144424443 144424443 |
||||||
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
r(x, y) |
|
r( y,z) |
|||
Таким образом, получаем
33
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
b
ρ2 (x(t), z(t)) = ò(x(t) − z(t))2 dt ≤ (ρ(x(t), y(t)) + ρ( y(t), z(t)))2 .
a
Неравенство (2.8), а следовательно, и (2.7) доказано. Итак
ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ( y, z) .
Аксиома 3 расстояния справедлива. (X , ρ) - метрическое пространство. Его обозна-
чают C[2a, b] .
2.2. Сходимость в метрических пространствах. Полнота
Определение 2.2. Открытым шаром B(х0, r) в метрическом пространстве (Х, ρ)
называется совокупность точек х Х, удовлетворяющих условию ρ(х0, х) < r. Замкну-
тым шаром B[х0, r] в метрическом пространстве (X, ρ) называется совокупность то-
чек х Х, удовлетворяющих условию ρ(х0, х) ≤ r, х0 называется центром, число r - радиу- сом шара.
Замечание. Открытый шар радиусом ε с центром в точке х0 называется также ε-
окрестностью точки х0. Ее обозначают Оε(х0).
Пример 2.8. В пространстве действительных чисел с метрикой ρ(х, у) = |х – у| открытый шар В(х0, r) - интервал: |x – x0| < r, или x0 – r < x < x0 + r (рис.2.2).
|
|
Рис.2.2. |
|
|
|
Пример 2.9. В пространстве C[a, b] |
- непрерывных на отрезке [a, b] функций с |
||||
ρ(x, y) = max | x(t) − y(t) | |
открытый |
шар |
В0(х, r) |
определен |
неравенством |
a ≤t≤ b |
|
|
|
|
|
max | x(t) − y(t) |< r , или х0(t) – r < x(t) < x0(t) + r - совокупность функций, непрерывных на
a ≤t≤ b
отрезке [a, b] и таких, что их значения не выходят за пределы полосы шириной 2 r: (x0(t) – r, x0(t) + r), t [a, b] (рис.2.3).
34
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
f(t) |
|
x0(t) + r |
||
|
||||
|
|
|||
|
|
|
x0(t) |
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
|
x0(t) - r |
|
|
|
|
|
t |
O |
a |
b |
|
|
Рис.2.3.
Замкнутый шар B[x0(t), r] в C[a, b] - совокупность функций, значения которых на отрезке [a, b] удовлетворяют неравенству
х0(t) – r ≤ x(t) ≤ x0(t) + r.
Определение 2.3. Последовательность {xn} точек метрического пространства (Х, ρ) называется сходящейся, если
$x0 Î X такое, что lim r(xn , x0 ) = 0
n→∞
или
"e > 0 $ N = N(e) "n (n > N Þ r (xn , x0 ) < e) .
Иначе: каждая ε-окрестность точки x0 Оε (х0) содержит все точки последователь- ности {xn}, начиная с некоторой.
Определение 2.4. Последовательность {xn} - точек метрического пространства (Х, ρ) называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши:
"e > 0 |
$N "n "m (n > N, m > N Þ r(xn , xm ) < e) . |
Замечание. Если последовательность {xn} сходится, то она фундаментальна. Действительно, пусть {xn} - сходящаяся, тогда
"e > 0 $N "n (n > N Þ r(xn , x0 ) < 2e ) .
Возьмем m > N, n > N Þ r(x |
n |
, x |
m |
) |
£ |
r(x |
n |
, x ) + r(x , x |
m |
) < e , следовательно, {xn} - фунда- |
|
|
|
|
Акс. 3 |
|
0 |
0 |
|
||||
ментальна.
Определение 2.5. Если в метрическом пространстве (Х, ρ) всякая фундаменталь- ная последовательность сходится, пространство называется полным.
Пример 2.10. Пусть (Х, ρ) - пространство всех действительных чисел с ρ (x, y) = |x – y|. Полнота (Х, ρ) известна из математического анализа.
Пример 2.11. (Х, ρ) - пространство изолированных точек
35
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ì0, |
x = y |
. |
r(x, y) = í |
x ¹ y |
|
î1, |
|
Фундаментальными в этом пространстве являются только стационарные последовательности. Всякая такая последовательность {x, x,…, x,…} сходится, следовательно, (Х, ρ) - полное.
Пример 2.12. (X, ρ) - метрическое пространство упорядоченных наборов
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
x = (x1,..., xn) c r2 (x, y) = å(xk - yk )2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
Покажем, что (X , r) = Rn |
- полное метрическое пространство. |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Пусть {x(p)} - фундаментальная последовательность, тогда |
|||||||
"e > 0 |
$N "p "q ( p > N,q > N Þ r(x( p) , x(q) ) < e) . |
||||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì x(1) |
= (x (1) |
, x |
(1) ,..., x (1) ) |
||
|
|
ï x(2) |
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
= (x (2) |
, x |
(2) ,..., x (2) ) |
|||
|
|
ï |
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
ï |
|
... |
|
|
|
|
|
í |
= (x ( p) |
|
|
|
|
|
|
ïx( p) |
, x ( p) ,..., x ( p) ). |
||||
|
|
ï |
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
ï |
|
... |
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если r2 (x( p) , x(q) ) = å(xk ( p) - xk (q) )2 < e2 , то k , |
|
k =1,K,n , |
| xk ( p) - xk (q) |< e , т.е. после- |
|||||||||||||
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
довательность |
{xk ( p)} ={xk |
(1) ,K, xk ( p) ,K} - фундаментальная, |
и, |
так как метрическое про- |
||||||||||||
странство действительных чисел полное, то {xk ( p)} при любом k, k =1,K, n , сходится. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
ì x(1) |
= (x (1) |
, x (1) , ..., x |
|
|
(1) ) |
|
|
|||||
|
|
|
|
ïx(2) |
1 |
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= (x (2) |
, x (2) , ..., x |
|
(2) ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
ï |
1 |
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
( p) ) . |
|
|
||
|
|
|
|
í x( p) = (x ( p) , x |
|
( p) |
, ..., x |
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
ï |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ï ... |
¯ |
¯ |
|
|
... |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
x |
x |
|
, |
..., |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
2 |
|
|
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обозначим |
lim x ( p) = x |
k |
и |
рассмотрим |
точку |
x |
= (x1, …, xn). Точка |
|||||||||
|
p→∞ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = (x1,..., xn )Î R2 = (X , r) .
Последовательность {x(p)} сходится в метрике ρ2 именно к точке x. В самом деле,
36
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
n |
|
|
n |
|
|
lim r(x( p) , x) = lim |
å(xk |
( p) - xk )2 = |
å lim (xk |
( p) - xk )2 |
= 0 Þ Þ lim x( p) = xÎ(X ,r2 ) , и, та- |
||
p→∞ |
p→∞ |
k =1 |
|
|
k =1 p→∞ |
|
p→∞ |
ким образом, (X ,r2 ) - полное метрическое пространство.
Приведем два примера метрических пространств, не являющихся полными.
Пример 2.13. Обозначим через Q множество всех рациональных чисел. Введем рас-
стояние равенством ρ (x, y) = |x – y| для любых x Q, y Q. Так как Q подмножество в множестве всех действительных чисел, проверку выполнения аксиом метрики можем опустить.
Итак, (Q, ρ) - метрическое пространство. Оно не является полным.
В самом деле, рассмотрим последовательность точек {xn}: x1 = 1; x2 = 1,4; x3 = 1,41; x4 = 1,414;…(десятичные приближения числа 
2 ).
Она фундаментальна, так как при m > n
| xn - xm |<10−n .
Однако сходится последовательность {xn} к числу x0 = 
2 , которое не является рациональным, т.е. x0 ÏQ .
Таким образом, метрическое пространство (Q, ρ) не является полным.
Пример 2.14. Пространство С[2a,b] не является полным.
Действительно, рассмотрим, например, последовательность непрерывных функций
ìï-1при -1£ t £ - 1n
ï
jn (t) = ïí nt при - 1n £ t £ 1n
ï
ïï 1при 1 £ t £1. î n
Первые три члена последовательности приведены на рис.2.4,а - в.
а |
б |
в |
Рис.2.4.
Последовательность фундаментальна в С[2−1,1] , так как
37
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ò |
(jn (t) - jm (t))2 dt £ |
|
|
|
. |
|
|
|||
min(n, m) |
|
|
||||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Однако она не сходится ни к какой функции из пространства С2 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[−1, 1] |
|
Действительно, пусть f(t) - некоторая функция из С2 |
|
и рассмотрим |
||||||||
|
|
|
|
|
|
[ |
−1,1] |
|
|
|
|
|
ì-1, |
t < 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) = í |
t ³ 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
î+1, |
|
|
|
|
|
|
||
где ψ(t) - разрывная функция (рис.2.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из неравенства треугольника для пространства С2 |
|
, доказанного в примере 2.7 (спра- |
||||||||
|
|
|
|
[−1,1] |
|
|
|
|
||
ведливого, очевидно, и для кусочно-непрерывных функций), имеем |
|
|||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
( ò( f (t) - y(t))2 dt) |
2 |
≤ ( ò( f (t) − ϕn (t))2 dt) |
|
+ ( ò(ϕn (t) − ψ(t))2 dt) |
|
. |
2 |
2 |
|||||
−1 |
|
−1 |
|
−1 |
|
|
В силу непрерывности функции f(t) интеграл в левой части последнего неравенства отличен от нуля. Далее ясно, что
1
nlim→∞ −ò1(jn (t) - y(t))2 dt = 0 .
1 |
1 |
|
Поэтому ( ò(jn (t) - y(t))2 dt)) |
|
не может стремиться к нулю при n → ∞ . Отсюда заключа- |
2 |
||
−1 |
|
|
ем, что С[2−1,1] не полно.
Упражнение 2.3. R0 = (X, ρ) - метрическое пространство всех упорядоченных наборов n чисел x = (x1,..., xn) c расстоянием
r0 = max | xk - yk |= r0 (x, y).
1≤k ≤n
Доказать, что R0 - полно.
38
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Упражнение 2.4. R1 = (X, ρ) - метрическое пространство всех упорядоченных наборов n
n
чисел c расстоянием ρ1(x, y) = å| xk − yk | .
k =1
Доказать, что R1 - полно.
2.3. Принцип сжатых отображений
Определение 2.6. Пусть R - метрическое пространство, A: R → R, A называют
сжимающим оператором, если
α < 1 x y ρ(Ax, Ay) ≤ αρ(x, y) .
Теорема 2.1 (принцип сжатых отображений). Пусть R - полное метрическое пространство, A: R → R, A - сжимающий оператор.
Тогда уравнение Ax = x имеет, и притом единственное, решение (существует, и притом единственная, неподвижная точка оператора A).
Доказательство. Пусть x - произвольная точка в R. Положим x1 = A (x), x2 = A(x1), …, xn = A(xn – 1) = A n(x).
Последовательность {xn} - фундаментальная.
В самом деле, если m ³ n , то, пользуясь тем, что A - сжимающий оператор, получим:
ρ(xn , xm ) = ρ(An x, Am x) ≤ αρ(An−1x, Am−1x) ≤ ... ≤
≤ αnρ(x, Am−n x) = αnρ(x, xm−n ) .
Далее привлекаем неравенство треугольника:
αnρ(x, xm−n ) ≤αn[ρ(x, x1) +ρ(x1, xm−n )]≤K≤
≤αn[ρ(x, x1) + ρ(x1, x2 ) + ρ(x2, xm−n )] ≤
≤αn[ρ(x, x1) + ρ(x1, x2 ) + ... + ρ(xm−n−1, xm−n )] ≤
≤αn[ρ(x, x1) + ρ(Ax, Ax1) + ...+ ρ(Axm−n−2 , Axm−n−1)] .
Из сжимаемости оператора A следует справедливость оценок
ρ(A x, A x1) ≤ αρ(x, x1) ;
ρ(Ax1, Ax2 ) ≤ αρ(x1, x2 ) = αρ(Ax, Ax1) ≤ α2ρ(x, x1) ;
…
ρ(Axm−n−2, Axm−n−1) ≤ ... ≤ αm−n−1ρ(x, x1) .
Таким образом,
ρ(xn , xm ) ≤ αnρ(x, x1)[1+ α + α2 + ... + αm−n−1] .
39
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
Сумма |
конечного |
числа |
|
членов |
геометрической |
прогрессии |
||||||
S |
m−n−1 |
=1+ a + a2 |
+K+ am−n−1 |
со знаменателем q = α и первым членом a |
=1 меньше всей |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
суммы, равной S = |
1 |
, откуда находим |
|
|
|
|
|
|
|||||
1-a |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r(x , x |
|
) £ |
anr(x, x ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
- a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Так как lim |
anr(x, x ) |
= 0 |
, последовательность {xn} фундаментальна. Пространство R |
|||||||||
|
|
|
1 |
||||||||||
|
|
n→∞ |
|
1- a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полное, следовательно, {xn} сходится к некоторой точке x0 Î R . |
|
||||||||||||
|
Докажем, что x0 - решение уравнения |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax = x. |
|
(2.9) |
|||
|
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ(A x0 , x0 ) £ ρ(x0 , xn ) + ρ(xn , A x0 ) = ρ(x0 , xn ) + ρ(A xn−1, A x0 ) . |
|
|||||||||
|
Так как x0 = lim xn , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"e > 0 $N "n (n > N Þ r(x0 , xn ) < e) . |
|
||||||
|
Возьмем n > N + 1, тогда n − 1 > N |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ρ(A x0, x0 ) £ ρ(x0, xn ) + αρ(xn−1, x0 ) < ε(1+ α) . |
|
|||||||
|
В силу произвольности ε получим |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
r(A x0, x0 ) = 0 Þ Ax0 = x0. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Акс.1 |
|
|
|
|
Следовательно, x0 - решение уравнения (2.9). |
|
|
|
|||||||||
|
Докажем, что x0 - единственное решение. |
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть $ y0 : Ay0 = y0. Рассмотрим r(x0, y0 ) . |
|
|
|
|||||||||
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r(x0, y0 ) = r(Ax0, Ay0 ) £ ar(x0, y0 ) Þ r(x0 |
, y0 ) = 0 Þ x0 = y0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Акс.1 |
|
Таким образом, x0 - единственное решение уравнения Ax = x.
Замечание. Справедлива оценка
r(x , x ) £ |
anr(x, Ax) |
. |
(2.10) |
|
n 0 |
1 |
- a |
|
|
|
|
|
||
Действительно, при доказательстве теоремы 2.1 было получено неравенство
r(x , x |
m |
) £ |
anr(x, Ax) |
. |
(2.11) |
|
n |
|
1 |
- a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Перейдем в (2.11) к пределу при m → ∞ и получим формулу для оценки погрешности от замены решения x0 уравнения (2.9) его приближением xn
40
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
r(xn , x0 ) £ anr(-xa, Ax) .
1
В качестве применения принципа сжатых отображений рассмотрим метод итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными
ì a11x1 + a12x2 +...+ a1n xn = b1 |
|
|||||||||||||
ï a |
x + a |
22 |
x |
+ ...+ a |
2n |
x |
n |
= b |
|
|||||
ï |
|
21 1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
(2.12) |
||||
í |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïa |
|
x + a |
|
x |
+ ...+ a |
nn |
x |
n |
= b |
|
||||
î |
n1 1 |
n2 |
2 |
|
|
|
n |
|
||||||
A = ||aij||, i, j = 1,…, n, |A| ≠ 0.
Когда говорят о численных методах, имеют в виду решение с привлечением вычислительных средств. Численные методы делятся на точные и итерационные.
Определение 2.7. Точными называют такие методы, которые в предположении
отсутствия округлений дают точное решение задачи после выполнения конечного числа арифметических и логических операций.
Определение 2.8. Итерационными называют такие методы, которые дают ре- шение задачи как предел последовательности приближений, вычисляемых некоторым единообразным способом.
В системе уравнений (2.12) обозначим
æ x |
ö |
æ b |
ö |
|
||
ç |
1 |
÷ |
ç |
1 |
÷ |
|
X = ç ... |
÷, B = |
ç |
... ÷ . |
|
||
ç x |
|
÷ |
çb |
÷ |
|
|
è |
n ø |
è |
n |
ø |
|
|
Система запишется в виде матричного уравнения |
|
|
|
|
||
AX = B, |
|
|
|
|
||
или AX + X = B + X, |
|
|||||
или (–A + E)X + B = X. |
(2.13) |
|||||
Обозначая в (2.13) (–A + E) = C = ||ci j||, i, j = 1, …, n, приходим к равенству: |
||||||
CX + B = X. |
|
(2.14) |
||||
Положим
UX = CX + B
и равенство (2.14) примет вид
UX = X . |
(2.15) |
Решение системы (2.12) равносильно нахождению неподвижной точки оператора U, действующего в метрическом пространстве упорядоченных наборов n действительных чисел x = (x1,…, xn).
41
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
В Rn - метрическом пространстве с r |
0 |
(x, y) = max | x |
k |
- y |
k |
| условие сжатости операто- |
|||||||
0 |
|
|
|
|
1≤k ≤n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ра U имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
å| ckj | <1. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1≤k ≤n j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 (UX ,UY ) = max |(UX )k -(UY )k |= max |(CX + B)k -(CY + B)k |= |
|||||||||||||
|
|
1≤k≤n |
|
|
|
1≤k≤n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
= max |å(ckj xj +bk )-å(ckj y j -bk )|£ max |
å|ckj |
|× | xj - y j | £ |
|||||||||||
1≤k≤n |
j=1 |
|
j=1 |
|
|
1≤k≤n |
|
j=1 |
|
14243 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
≤max|x j − y j | |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1≤ j≤n |
||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
£ (max |
å|ckj |)(max | xj - y j |) =r0 (X , Y ) max |
å|ckj | . |
|||||||||||
|
1≤k≤n |
j=1 |
1≤ j≤n |
|
|
|
|
|
1≤k≤n |
j=1 |
|||
Итак, оператор U является сжимающим в Rn , если |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 = max |
å| ckj | < 1. |
|
|
|
|
(2.16) |
|
|||
|
|
|
1≤k ≤n |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
Упражнение 2.5. Вывести условие сжатости в R1n , где r1(x, y) = å| xk - yk | : |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 = max |
å| ckj | <1. |
|
|
|
|
(2.17) |
|
|||
|
|
|
1≤ j≤n k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Упражнение 2.6. Вывести условие сжатости в R2n , где r2 (x, y) = å(xk - yk )2 : |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 = ååckj2 < 1. |
|
|
|
|
(2.18) |
|
||||
k =1 j=1
Если выполняется хотя бы одно из условий (2.16), (2.17) или (2.18), то решение уравнения (2.15) (а следовательно, системы (2.12)) можно находить как предел последователь-
ности точек X(1), …, X(n), …, где X (1) Î Rn , X (1) |
|
= (x(1) |
,K, x(1) ) |
- произвольная |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
(1) |
|
(1) |
|
|
æ |
(2) |
|
n |
(1) |
|
|
ö |
|||
|
X |
= UX |
= CX |
+ B , |
ç |
|
|
+ bk , k = 1,K,n |
÷ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ç xk |
|
= åckj xj |
|
÷ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p) |
|
|
( p−1) |
|
( p−1) |
|
|
æ |
( p) |
n |
|
( p−1) |
|
ö |
|||||
X |
= UX |
= CX |
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ B , ç xk |
= åckj x j |
|
+ bk , k =1,K, n÷ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
j=1 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
||
...
42
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com