Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям Ржавинская Белякова Жаркова

В дифференциальных уравнениях (1.13) и (1.14) переменные разделились. Таким образом, мы привели уравнения (1.11) и (1.12) к виду

Если y(x) - решение уравнения (1.15), то при подстановке y(x) в (1.15) получим тождество

f1(x)dx = f2 ( y(x))dy(x) .

Проинтегрируем обе части по переменной x. Имеем

Каждое решение уравнения (1.16) удовлетворяет (1.15). (Действительно, пусть y(x) - решение (1.16). Тогда при подстановке y(x) в (1.16) получим тождество. Дифференцируем обе его части по x - получим (1.15). Следовательно, y(x) - решение (1.15).)

Пример 1.6. Проинтегрировать дифференциальное уравнение: xdx + ydy = 0 .

Перепишем его в виде

xdx = −ydy .

Переменные разделились. Интегрируем обе части и получаем x22 = − y22 + C1

или

x2 + y2 = 2 C1 ,

где C1 принимает любые вещественные значения.

Обозначим 2C1 = C22 , тогда x2 + y2 = C22 , C2 - любое действительное число. Интеграль-

ные кривые представляют собой семейство окружностей с центром в точке O(0,0) (срав-

ните с примером 1.5).

Замечание. При переходе от уравнения (1.11) к (1.13) и от уравнения (1.12) к (1.14) мы делим обе части на некоторые функции - могут быть потеряны решения.

Пример 1.7. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

dydx = xy .

Разделяем переменные

13

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

следовательно, C3 - любое вещественное число, кроме C3 = 0 . Итак, y = C3x , где C3 ¹ 0 .

При разделении переменных делили на y и предполагали при этом, что y ≠ 0 - могло быть потеряно решение y ≡ 0. Подставив y ≡ 0 в исходное уравнение, получаем тождество, следовательно, y ≡ 0 - решение.

Ответ: y = C3x , где C3 ¹ 0 , и линия y ≡ 0.

Можно записать этот ответ одной формулой y = Cx, где C - любое вещественное число.

Относительно неизвестной функции z(x) получаем уравнение z′x + z = f (z)

или

x dxdz = f (z) - z .

Делим обе части на f (z) − z :

14

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Переменные разделились, таким образом, замена z = xy сводит уравнение (1.18) к урав-

нению с разделяющимися переменными.

и интегрируем обе части

z - ln | z | +ln C1 = ln | x | , C1 > 0 ; z + ln C1 = ln | z | +ln | x | .

Потенцируем

C1ez =| z | ×| x | .

Вернемся к старым переменным

y

C1e x =| xy | ×| x | ;

y

|y| = C1e x , C1 > 0 .

15

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Снимаем знак абсолютной величины

y

y = C2e x , C2 ¹ 0 ( C2 = ± C1 ).

Ищем потерянные решения. Делили на z – 1, x, z:

x2 + x2 ×1 ¹ x × x ×1, т.е. y = x не является решением;

2)x = 0 подставляем в исходное уравнение - x = 0 не является решением;

3)z = 0, т.е. y = 0. Подставляем y = 0 в исходное уравнение, получаем тождество. Это означает, что y ≡ 0 - решение.

y

Итак, y = C2e x , C2 ¹ 0 и y ≡ 0 или

y

y = Сe x ,

где C - любое вещественное число.

Определение 1.14. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка

называется дифференциальное уравнение, линейное относительно неизвестной функции y(x) и ее производной y'(x), т.е. уравнение вида

Функции p(x) и q(x) считаем непрерывными в той области G (x, y), в которой рас- сматривается уравнение (1.21).

Обсудим сначала линейное уравнение c q(x) ≡ 0

Уравнение (1.22) называется линейным однородным, соответствующим дифференциальному уравнению (1.21).

Уравнение (1.22) с разделяющимися переменными: dyy = - p(x) dx .

Проинтегрируем его

ln | y |= -ò p(x) dx + lnC1 , C1 > 0 ;

| y |= C1 e−ò p(x)dx ;

y = C2 e−ò p(x)dx , C2 = ±C1 , C2 ¹ 0 .

16

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

При делении на y теряем решение y ≡ 0 уравнения (1.22). Решение (1.22) имеет вид

где C - произвольное действительное число (при C = 0 формула (1.23) дает и потерянное решение y ≡ 0).

Для нахождения решения (1.21) применим так называемый метод вариации произвольной постоянной, который заключается в следующем.

Решение (1.21) ищем в виде, аналогичном (1.23)

Интегрируем (1.25) и находим

C(x) = òq(x)eò p(x)dxdx + C3 .

Тогда

Уравнение (1.27) - линейное вида (1.21). Решаем соответствующее однородное

или

17

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

y = C3 ln2 x , где C3 - любое действительное число. При C3 = 0 и потерянное решение y ≡ 0

где C4 - произвольное действительное число.

1.4. Теорема существования и единственности

решения задачи Коши для дифференциального уравнения dxdy = f (x, y)

Дифференциальных уравнений, интегралы которых находятся в результате конечной последовательности элементарных действий и дальнейшего интегрирования, немного. (Уже уравнение Риккати y¢ = a(x) y2 + b(x) y + c(x) не сводится к квадратурам.) Поэтому важно уметь находить приближенное решение дифференциального уравнения. Но прежде, чем приближенно находить решение, нужно убедиться, что оно существует.

Задача Коши для дифференциального уравнения y' = f (x, y) ставится следующим образом.

18

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Требуется найти решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию

Теорема 1.1 (о существовании и единственности решения задачи Коши).

Пусть в уравнении (1.31):

1) функция f (x, y) непрерывна в области G , где

G : x0 − a ≤ x ≤ x0 + a ; y0 − b ≤ y ≤ y0 + b ;

2) функция f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y:

K x [x0 − a, x0 + a ] , y1, y2 [y0 − b, y0 + b];

| f (x, y1) − f (x, y2 ) |≤ K | y1 − y2 | .

Тогда существует, и притом единственное в промежутке [x0 − h, x0 + h] , решение урав-

нения (1.31), удовлетворяющее начальному условию (1.32), где

h ≤ min(a,b/ M ,1/ K) , M = max | f (x, y) | .

(x, y) G

Замечание 1 (к условию теоремы 1.1). Интегральная линия, удовлетворяющая условию y(x0 ) = y0 (т.е. проходящая через точку (x0, y0 ) ), может выйти за пределы области G

(рис.1.3), поэтому мы утверждаем существование решения в более узком промежутке

[x0 − h, x0 + h] .

Рис.1.3.

Замечание 2. Условие Липшица можно заменить более “грубым”, но легче проверяе-

мым условием ограниченности частной производной ∂f (x, y) в области G.

∂y

19

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Функция f (x, y) = xy непрерывна в любой области G, не содержащей начала координат

O(0,0).

Функция ∂f (x, y) = 1 ограничена в любой области G, не содержащей начала координат

∂y x

O(0,0), следовательно, через любую точку области G, не содержащей начала координат O(0,0), проходит одна и только одна интегральная линия уравнения (1.33).

В примере 1.7 решения уравнения (1.33) даются равенством y = Cx, С R . Ось Oy явля-

ется интегральной линией уравнения dydx = xy , хотя не служит графиком решения. (Догово-

рились рассматривать уравнение dydx = xy в тех точках, в которых f (x, y) теряет смысл.

Функция x ≡ 0 - решение уравнения dydx = xy .)

Итак, все решения уравнения (1.33): y = Сx , С R и линия x ≡ 0 (рис.1.4).

Рис.1.4.

Через точку O(0,0) проходит бесчисленное множество решений уравнения (1.33), что никак не противоречит теореме 1.1: в точке O(0,0) нарушаются условия теоремы 1.1 (функция

20

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Доказательство теоремы 1.1 дает и метод построения приближенного решения.

Метод ломаных Эйлера заключается в том, что решение (интегральная кривая) y(x), проходящее через точку (x0, y0), ищется как предел последовательности ломаных.

Отрезок [x0 , x0 + C ] , если решение находим в точке x = C, делим на n равных частей точ-

ками x1 = x0 + Cn , x2 = x0 + 2nC ,…, xn = x0 + C . Длина каждой части называется шагом h раз-

биения, h = Cn .

Для вычисления y1 = y(x1) заменяем кривую y(x) на отрезке [x0, x0 + h ] отрезком каса-

тельной, проведенной в точке (x0, y0) (рис.1.5).

...

При h → 0 последовательность ломаных Эйлера сходится к решению y(x), проходящему через точку (x0, y0).

21

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Подчеркнем, что мы изложили только алгоритм метода ломаных Эйлера, опуская его обоснование.

1.5. Простейшие типы дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной

Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет следующий вид:

Случай 1. Уравнение (1.35) удается разрешить относительно y' и получить одно или несколько дифференциальных уравнений вида

Интегрируем (1.36) и, объединяя все решения, получаем решение (1.35).

Замечание. Гладкими интегральными кривыми уравнения (1.37) будут также кривые, составленные из дуги кривой (1.38) и дуги кривой (1.39), если в общей точке они имеют общую касательную.

22

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com