§ 1.2. Примеры решения типовых задач.

1.1.В декартовой системе координат проекции векторного поляАпостоянны в каждой точке пространства:

,,.

Построить картину силовых линий векторного поля.

Решение. Поскольку одна из декартовых составляющих векторного поля отсутствует, силовые линии должны представлять собой семейство плоских кривых, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости ху. Вектор поля в каждой точке касателен к силовой линии, откуда вытекает дифференциальное уравнение силовых линий

, (1.16)

являющееся следствием подобия двух прямоугольных треугольников с катетами dх,dуиА₀,В₀соответственно. Общий интеграл уравнения (1.16) имеет вид

,

где С- произвольная постоянная.

Рис.1.1 Рис.1.2

Таким образом, силовые линии поля представляют собой однопараметрическое семейство прямых с угловым коэффициентом наклона к оси х, равнымВ₀ /А₀ (рис. 1.1).

1.2.Векторное поле А, удовлетворяющее во всех точках рассматриваемой области условиюdivА = 0, называется соленоидальным (полем без источников). При выполнении условияrot А = 0 поле А является потенциальным векторным полем. Если такое поле характеризует силу, действующую на материальную точку, то работа внешних сил при обходе замкнутого контура будет равна нулю. В декартовой системе координат векторное поле А имеет единственную составляющую.

Проверить, является ли поле: а) соленоидальным; б) потенциальным.

Решение. Картина силовых линий поля Ав плоскостихуизображена на рис. 1.2. Вычисляя дивергенцию этого поля по формуле (1.2), получим, чтоdiv А = ∂А_y/∂y = 0. Следовательно, исследуемое поле соленоидально. Однако в соответствии c (1.6)rotА = 30х1_z, поэтому поле не является потенциальным.

1.3.Вычислить дивергенцию векторного произведения полей А и В. Решение. Здесь удобно воспользоваться оператором Гамильтона, записав

.

Оператор Гамильтона является дифференциальным оператором, поэтому к приведенному векторному произведению можно применит обычные правила дифференцирования произведения:

.

Нижние индексы у оператора указывают поле, на которое он воздействует. Поле, на которое оператор не воздействует, должно быть вынесено за знак оператора подобно константе. В результате получаем

.

§ 1.3. Задачи для самостоятельного решения.

1.4.Скалярное поле φ задано в декартовой системе координат выражением

Вычислить векторное поле gradφ.

Ответ:.

1.5.В декартовой системе координат векторное поле А имеет единственную составляющуюА_z= 3у². Построить качественно пространственную картину распределения силовых линий поля. Вычислить векторное полеrotА.

Ответ:.

1.6.Пусть поле А предыдущей задачи характеризует векторы скоростей потока жидкости. В любую точку пространства может быть помещена миниатюрная “турбина” с прямыми лопатками (рис. 1.3); ориентация ее оси произвольна.

Рис.1.3.

Почему не будет вращаться “турбина”, помещенная в поток жидкости со скоростями, одинаковыми в каждой точке? Почему угловая скорость вращения равна нулю при и изменяет направление при переходе из областив область? Установить связь этих результатов с математическим понятием ротора векторного поля как циркуляции по бесконечно малому контуру.

1.7.В сферической системе координат задано векторное поле. Определить скалярное полеdiv A. Качественно построить картину силовых линий векторного поля.

Ответ: div А = 3.

1.8.В сферической системе координат векторное поле А имеет единственнуюr-ю составляющую, причем. Какова должна быть функция, чтобы дивергенция поля А обращалась тождественно в нуль? Построить картину силовых линий поля.

Ответ:, гдеа- константа.

1.9.В декартовой системе координат скалярное поле φ имеет вид

,

где мнимая единица;

- постоянный вектор;

- радиус-вектор.

Найти выражения для gradφ и Δφ.

Ответ:,, где.

1.10. Определить дивергенцию и ротор векторного поля, имеющего в декартовой системе координат единственную составляющую.

Ответ:,.

1.11.Определить дивергенцию и ротор векторного поля А, характеризуемого следующими составляющими в цилиндрической системе координат:,,.

Ответ:,.

1.13.В декартовой системе координат некоторое скалярное поле задано трехмерным интегралом Фурье

Вычислить Δφ.

Ответ:, где.

1.14.Изобразить графически картину силовых линий векторных полей, заданных в декартовой системе координат своими проекциями:

,,.

,,.

1.15.Найти ротор и дивергенцию следующих векторных полей, заданных в декартовой системе координат:

,

.

Ответ:,,,.

1.16. Используя правила действия с оператором Гамильтона, доказать тождество

.

1.17.В пространстве заданы два векторных поля А и В. Найти выражение для поля.

Указание: Выразить операциюgrad через оператори воспользоваться правилом дифференцирования произведения.

Ответ:.

1.18.Доказать следующие тождества векторного анализа (φ и А - произвольные дифференцируемые скалярное и векторное поля):

,

,

,

,

.

1.19.Векторное поле А обладает единственной составляющейA_x, которая постоянна в пределах плоского слоя толщиной 2d:

Найти выражение ротора поля.

Ответ:, где- функция Дирака.