Глава 2. Модели сигналов,

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

2.1. Синусоидальные сигналы

2.1.1. Гармонические и полигармонические сигналы

Сигналы, которые рассматриваются в технической дисцип­лине ЦОС, определяются устройством и особен­нос­тями конструкции объектов управления, видом управляющих воздействий и описы­ваются различны­ми функция­ми времени. Как правило, сигналы – это действительные функции времени, обозначаемые как , определён­ные на бесконечномили на конечномвременном интервале. Для наиболее типич­ных случаев ЦОС, имеющих многочисленные приложе­ния, используютсяварианты синусои­дальных сигналов.

Гармонический (синусоидальный или монохроматический) сигнал являет собой простейший пример сигнала, который рассматривается в ЦОС. Общий его вид представляется выражением

, (2.1.1)

где ,,– амплитуда гармонического сигнала; – фазовая функ­ция;  – начальная фаза и . Частота сигнала связана с фазовой функцией через производную –. Поскольку в данном случае фазовая функция изменяется по линейному закону, то частота гармонического сигнала постоянна во времени. Частота, обозначаемая в виде, измеряется в ; частота сигнала, обозначаемая в видеf и удовлетворяющая соотношению , измеряется в Гц.

Полигар­мони­ческий сигнал описывается в виде суммы нескольких гармоничес­ких составляющих

(2.1.2)

Частоты для (2.1.2) в общем случае являются произвольными и для определённости будем считать их упорядо­ченными – удовлетворяющими системе неравенств амплитуды, – начальные фазы гармонических составляющих,.

Составить нагляд­ное представле­ние о полигармонических сигналах позволяет их амплитуд­ный и фазовый спектр – графическое изображение распреде­ле­ния амплитуд и начальных фазгармонических составляющих по дискретным частотам,Отметим, что значения начальных фазприводятся к диапазону. Пример амплитудного и фазового спектра для некоторого полигармонического сигнала изображён на рис. 2.1.1а, 2.1.1б.

Рис. 2.1.1а. Амплитудный спектр полигармонического сигнала

Рис. 2.1.1б. Фазовый спектр полигармонического сигнала

Модулированный по амплитуде и фазе (модулированнный по частоте) синусоидальный сигнал является обобщением монохроматичес­кого сигнала и представ­ляется следующим выражением:

где – амплитудная функция (огибающая); – нелинейная фазовая функция. При фиксиро­ванном значенииамплитуда и фаза модулирован­ного сигнала не определены однозначно, поскольку для любого момента времениt справедливо соотношение

.

Для обеспечения однозначности представления необходимо введение дополни­тельных условий, накладываемых на сигнал. Производ­ная по времени фазовой функции есть мгновенная частота сигнала по определению, т.е. . Вследствие этого модулированной фазовой функции соответствует модулированная частотная функция и наоборот.

Если выполняется неравенство для частоты , тоявляется полосовым сигналом,– его средняя частота,– ширина частотной полосы сигнала. Узкопо­лос­ный сигнал с условиемможет быть записан в виде

,

где функции ,имеют ограничен­ные нулевые и первые производные

, ,,.

Очевидно, амплитудная функция в этом случае ограничена сверху и снизу:

.

Для фазовой функции справедливы соотношения

, .

После дифференцирования получим выражение для переменной во времени частоты

.

С учётом введённых ограничений на амплитуды и их производ­ные из последней формулы вытекает неравен­ство для частоты

, ,

где – верхнее значение полосы сигнала. Ограниче­ния на производ­ные для амплитудвлияют на ширину полосы узкополос­ного сигнала и обусловливают медленные изменения амплитудойи частотойфункций.

На рис. 2.1.2а представлен пример реализации сигнала с модулированными по синусоидальному закону амплитудными и фазовыми функциями

(2.1.3)

Для (2.1.3) представляет собой выражение для модулированной амплитудной функции,– для модулированной фазовой функции.

Рис. 2.1.2а. Реализация узкополос­ного сигнала с синусоидальной

амплитудной и частотной модуляцией

Рис. 2.1.2б. Функция синусоидальной частотной модуляции

Сигнал рис. 2.1.2а определён на интервале времени несущая частота– глубина амплитудной модуляции,– частота амплитудной модуляции,,– индекс модуляции фазовой функции,– частота фазовой модуляции,Для данного узкополосного сигнала частотная функцияменяется в соответствии с

, (2.1.4)

где – индекс частотной модуляции. На рис.2.1.2б изображен график частотной функции(2.1.4).

2.1.2. Синусоидальные сигналы с амплитудной и частотной модуляцией

Рассмотрим простейшие случаи синусоидальных амплитудных и фазовых модуляций гармонических сигналов, которые обусловливают их полигармонический характер.

Гармонический сигнал с ампли­тудной синусоидальной модуляцией представляется выражением

(2.1.5)

На рис. 2.1.3а изображена реализация сигнала с амплитудной модуляцией, определённого на отрезке времени несущая частота

Рис. 2.1.3а. Реализация сигнала с синусоидальной

амплитудной модуляцией

Рис. 2.1.3б. Реализация сигнала с синусоидальной частотной модуляцией

Сигнал (2.1.5) может быть разложен на сумму трёх гармонических составляющих сигналов с частотами ,гдеПоложим для удобств выкладок, чторазложим произведение косинусов в сумму

Амплитудный спектр сигнала с синусоидальной амплитудной модуляцией, изображён на рис. 2.1.4.

Рис. 2.1.4. Амплитудный спектр сигнала с синусоидальной

амплитудной модуляцией

Гармонический сигнал с фазовой (частотной) синусои­дальной модуляцией описывается выражением

(2.1.6)

Для (2.1.6) модулированная фазовая функция имеет вид . Введём обозначения,положимДля сигнала (2.1.6) частота модулируется по гармоническому закону

где определяет амплитуду функции частотной модуляции;  – частота частотной модуляции. На рис. 2.1.3б представлен пример реализации модельного сигнала с частотной модуляцией, определённый на отрезке времени Глубина частотной модуляции составляет величинуи частота данного частотно-модулированного сигнала колеблется в пределах

Сигнал (2.1.6) может быть представлен в виде бесконечной суммы гармонических составляющих. Запишем (2.1.6) в виде

(2.1.7)

Воспользовавшись работой Г.М. Фихтенгольца^, разложим периодические функции ив ряд по синусам и косинусам кратных дуг

(2.1.8)

где – функции Бесселя первого рода порядкаl, для которой справедливо разложение в степенной ряд

На рис. 2.1.5 представлены графики функции Бесселя в зависимости от  для и

Подставим в (2.1.7) выражения разложений (2.1.8), получим

Рис. 2.1.5. Графики функций Бесселя первого рода

Сделаем очевидные преобразования

и соберём гармонические составляющие с частотами которые располагаются с дискретным шагом по частоте относительно несущей частоты

(2.1.9)

Из (2.1.9) видно, что амплитуды гармонических составляющих определяются значениями функций Бесселя.

На рис. 2.1.6 представлен пример амплитудного спектра частотно-модулированного по синусоидальному закону сигнала вида (2.1.9), симметричного относительно для,Из (2.1.9) можно заключить, что данный частотно-модулированный сигнал допускает представление в виде полигармонического сигнала с достаточно широким спектром, который в данном случае состоит из 15 гармонических составляющих.