Магнитная труктура поверхностей и тонких пленок

Правая часть (21) отрицательна при –1/2 < kS < 0, и можно заключить, что интервал значений kS, для которых состояние СМС подавлено, вдвое больше, чем в случае N = 1.

N = 3. Аналогично случаям N = 1 и N = 2, для kS < –1 СМС имеет место для любых значений kB > 0. Для kS > –1 СМС имеет место, только если kB удовлетворяет неравенству

Как следует из (22), эволюция границы та же самая, то есть область, отвечающая СМС,

продолжает расширяться, и теперь граница раздела пересекает линию kB=0 при kS =–1/3.

Общей чертой для границ, разделяющих СМС и однородное состояние с намагниченностью в плоскости пленки, на фазовых диаграммах, построенных для пленок толщиной N = 1, 2, 3, ..., нанесенных на подложку из жесткого магнетика является то, что все эти линии имеют асимптоту kS = –1. При увеличении N граница сдвигается вправо и пересекает линию kB = 0 при kS = –1/N (Рис. 5).

Рис. 5. Эволюция границы области СМС при увеличении толщины пленки на подложке из жесткого магнетика. Точка А в левом верхнем углу диаграммы находится в области, в которой моменты всех слоев пленки из N слоев ориентированы плоскости пленки, тогда как для пленки из N+1 слоев точка А с теми же координатами (kS, kB) находится в области, отвечающей СМС. Это иллюстрирует спин-переориентационный переход при увеличении толщины пленки из состояния, однородного по ориентации моментов слоев, в

состояние СМС.

В предельном случае N>>1 эта граница совпадает с той, что была получена ранее в рамках предположения N (см. (13)). Этот результат может служить основой для физической трактовки спин-переориентационного перехода (СПП) при увеличении толщины пленки.

11

Действительно, если для пленки из N атомных слоев константа поверхностной анизотропии kS удовлетворяет неравенству 1/N < kS < 1/(N+1) при достаточно малых значениях kB , то пленка намагничена в плоскости. В то же время, при тех же значениях kS

и kB в пленке из (N+1) слоев реализуется СМС. Таким образом, происходит СПП параллельного состояния в СМС с увеличением толщины пленки. Напомним, что речь идет о пленке, нанесенной на подложку из жесткого магнетика с малой глубиной проникновения в нее СМС.

Эти закономерности могут быть поняты следующим образом. Наличие асимптоты kS = –1 для каждой кривой, построенной для N=1, 2, 3, … , показывает, что поверхностный момент всегда отклонен от плоскости, если поверхностная анизотропия превосходит обменное взаимодействие со следующим приповерхностным слоем. В этом случае, всегда реализуется СМС. Увеличение интервала значений kS, в котором СМС подавлена, есть следствие недостаточности толщины ультратонких пленок. В них протяженное неоднородное состояние не может реализоваться, поскольку структура типа доменной стенки обрывается на границе раздела с подложкой из жесткого магнетика, в которой углы отклонения моментов равны нулю для n = N + 1, N + 2, … .

(B): Для того, чтобы рассмотреть случай, когда тонкая магнитная пленка нанесена на немагнитную подложку, надо учесть поверхностное возмущение на противоположной стороне пленки, то есть надо написать вместо в нижнем правом углу матрицы A в (5). Тогда уравнение на собственные значения записывается следующим образом

Подстановка выражения для dn, определяемого формулой (8), в (23) приводит к уравнению вида

Во-первых, из (24) следует, что при N это уравнение переходит в уравнение (10),

полученное выше для полубесконечного кристалла с поверхностным возмущением только на одной стороне пленки. Действительно, при N дроби во втором и третьем слагаемых равны exp(– ) и exp(–2 ) соответственно. Тогда уравнение (24) может быть переписано в виде (1 + exp(– ))2 = 0, что эквивалентно уравнению (10). Следовательно,

мы приходим к естественному результату, что на магнитную структуру приповерхностной области полубесконечного кристалла не оказывает влияние поверхностное возмущение на противоположной поверхности. Во-вторых, уравнение (24) квадратное по отношению к

12

параметру и поэтому может быть решено аналитически. Выражение для корня уравнения (24), соответствующего минимальному значению , имеет вид

exp( ) 2 sinh exp( (N 1)) .

Вквадратных скобках содержится поправка к прежнему результату (10), полученному для полубесконечного кристалла при N . Как следует из (25), эта поправка уменьшается экспоненциально с толщиной пленки. Более существенно, что эта поправка отрицательна в интервале 0 < < . Это приводит к следующим последствиям. Уравнение (25)

удовлетворяется при больших значениях параметра для данного значения величины поверхностного возмущения – . Таким образом, можно заключить, что в отличие от результата, полученного для пленки на подложке из жесткого магнетика, для пленки на подложке из немагнитной подложки учет конечного количества атомных слоев приводит к увеличению параметра . Как следствие, минимальное собственное значение уменьшается, и пересекает ноль раньше по сравнению со случаем полубесконечного кристалла. Другими словами, для того, чтобы удовлетворить требованию =0, необходимо меньшее значение константы поверхностной анизотропии по сравнению со случаем полубесконечного кристалла. Таким образом, для пленки на немагнитной подложке состояние СМС более предпочтительно, чем для пленки на подложке из сильно анизотропного ферромагнетика. Эта ситуация иллюстрируется на Рис. 6.

13

Рис.6. (a) Графическое решение уравнения Eq. (10) для параметра , соответствующего минимальному собственному значению матрицы A, формула (5), для полубесконечного ферромагнетика (сплошная линия)

и уравнения (25) для пленки из N слоев на немагнитной подложке (штриховая линия). (b) Графическая иллюстрация случая, когда критерий устойчивости СМС состояния полубесконечного ферромагнетика не выполнен (0< ), а для пленки из N слоев, характеризуемой теми же значениями параметров модели kS, kB

выполнен (N<0). Увеличение области, соответствующей СМС состоянию, на фазовой диаграмме в координатах (kS, kB) для тонкой пленки на немагнитной подложке по сравнению со случаем полубесконечного ферромагнетика есть эффект конечности толщины пленки. Добавочная эффективная перпендикулярная анизотропия в такой пленке существует исключительно благодаря нехватке внутренних слоев с анизотропией легкая плоскость из-за конечности ее толщины. Этот эффект не может быть приписан влиянию как поверхностной константе анизотропии, так и объемной и должен учитываться непосредственно при описании СПП в тонких пленках, нанесенных на немагнитную подложку.

Ниже приведены решения для нескольких конкретных значений числа атомных

слоев в пленке N.

N = 1, 2. В каждом из этих случаев отсутствуют объемные слои, проблема является плохо определенной, и понятие СМС не может быть применено для этих систем.

Ориентация момента этих пленок полностью определяется знаком только лишь константы поверхностной анизотропии KS , то есть параллельная плоскости пленки ориентация при

KS > 0 и перпендикулярная при KS < 0.

N = 3. При kS <–1, СМС имеет место при любом значении kB > 0, тогда как при kS >

Правая часть в (26) больше, чем в (13), и, таким образом, в этом случае область,

отвечающая СМС, больше по сравнению со случаем полубесконечного кристалла.

Аналогично случаю полубесконечного кристалла граница, разделяющая область СМС от области однородно намагниченной пленки, проходит через начало координат kS=0, kB=0.

N = 4. Аналогично случаю N = 3, для kS < –1 СМС имеет место для любых значений kB > 0, тогда как при kS > –1 СМС реализуется, если только kB удовлетворяет неравенству

Правая часть в (27) меньше, чем в (26) для N = 3, но больше, чем в (13), определяющем границу области СМС и области однородно намагниченной пленки для полубесконечного кристалла. Таким образом, в этом случае (N=4) область СМС меньше, чем в случае N = 3,

но больше, чем для полупространственного кристалла. Как и раньше граница на фазовой диаграмме проходит через начало координат.

14

N = 5. Аналогично рассмотренным выше случаям N = 3 и N = 4, при kS < –1 СМС реализуется при любых kB > 0, при kS > –1 эволюция границы та же: область СМС сжимается, а граница проходит через начало координат. Граница области СМС

определяется неравенством

Рис. 7. Эволюция границ, разделяющих области, отвечающие СМС и параллельное состояния, а также СМС и перпендикулярное состояние на фазовой (kS, kB)-диаграмме при увеличении толщины пленки, нанесенной на немагнитную подложку. Точка A в левом верхнем углу фазовой диаграммы расположена в СМС-области для пленки из N слоев. Однако та же точка A расположена в области, отвечающей параллельному состоянию для пленки из (N+1) слоев. Это иллюстрирует СПП из СМС состояния в в однородное параллельное состояние при увеличении толщины пленки.

Общей чертой для всех линий, определяющих границу раздела области СМС и области однородной магнитной пленки, нанесенной на немагнитную подложку, является то, что все они имеют асимптоту kS = –1и проходят через начало координат (Рис. 7). Эта линия смещается влево на фазовой диаграмме (kS, kB) при увеличении толщины пленки N.

В предельном случае N эта граница совпадает с той, что была получена для полубесконечного кристалла. Этот результат может служить основой для интерпретации спин-переориентационного перехода при увеличении толщины пленки. Действительно,

тогда как в пленке из N слоев реализуется СМС, в пленке из (N+1) слоев при тех же значениях параметров kS и kB реализуется однородное магнитное состояние с моментами всех слоев, ориентированными в плоскости пленки. Таким образом, по сравнению со

15

случаем пленки, нанесенной на сильномагнитную подложку (см. пункт (А)), для пленки,

нанесенной на немагнитную подложку, реализуется обратный спин-переориентационный переход из состояния СМС в однородное магнитное состояние при увеличении толщины пленки.

Эти результаты могут быть поняты следующим образом. Аналогично случаю тонкой пленки, нанесенной на подложку из жесткого магнетика, для каждой из кривых,

построенных для N = 3, 4, 5,… , характерно наличие асимптоты kS = –1. Это показывает,

что поверхностный момент всегда отклонен от плоскости пленки, если константа поверхностной анизотропии превышает обменное взаимодействие поверхностного момента с моментом следующего атомного слоя. В этом случае в пленке всегда реализуется СМС. Увеличенная величина области, отвечающей СМС в случае немагнитной подложки, по сравнению ее величиной для полупространственного кристалла происходит из-за отсутствия в такой подложке объемных слоев с анизотропией типа легкая плоскость. Уменьшение области, отвечающей СМС, с толщиной пленки происходит благодаря увеличению количества объемных слоев с анизотропией типа легкая плоскость, что способствует однородному магнитному состоянию с ориентацией всех моментов в плоскости пленки.

Обобщение полученных результатов на случай объемной перпендикулярной анизотропии типа легкая ось и поверхностной анизотропии типа легкая плоскость (kS < 0, kB < 0) очевидно.

Для проверки полученных результатов были выполнены численные компьютерные вычисления при частных значениях параметров модели. Выбиралось число атомных слоев

N, на которых вектор магнитного момента мог отклоняться от плоскости пленки для kS < 0, kB < 0 (либо от нормали к плоскости пленки для kS > 0, kB < 0). Затем минимизировалась энергия (1). Эта процедура позволяла получить численные значения для sin( n) (n = 1, 2,

3, …, N). Затем увеличивалось число атомных слоев до тех пор, пока изменения параметров sin( n) переставали быть существенными по величине: sin( N) < 10-3. Эти вычисления показали, что все аналитические результаты, полученные выше, вполне точны. Кроме этого в процессе вычислений было подтверждено, что все границы на полученных фазовых диаграммах отвечают фазовым переходам второго рода. Последнее обстоятельство позволило убедиться в том, что разложение выражения для энергии (1) по малым углам отклонения n в (2) вполне корректно.

16

§5 . Континуальное приближение.

Кнастоящему времени проблема описания СМС в полубесконечном ферромагнетике рассматривалась только в континуальном приближении [2,3]. В рамках такого приближения игнорируется дискретная атомная структура пленки, и рассмотрение сводится к решению соответствующего дифференциального уравнения с граничным условием на поверхности. Тем не менее, этот подход обладает некоторыми преимуществами, поскольку в нем удается получить аналитически зависимость угла ориентации от расстояния до поверхности. Здесь мы напомним суть этого приближения

ипокажем, что для достижения согласия с точным решением, получаемым в рамках дискретного подхода, необходимо учитывать члены более высокого порядка. Ради простоты ограничимся рассмотрением случая полубесконечного ферромагнетика с объемной анизотропией типа легкая плоскость (kB > 0) и поверхностной анизотропией типа легкая ось (kS < 0). Вкратце, процедура нахождения зависимости угла ориентации от расстояния (z) состоит в следующем.

Минимизация энергии (1) по отношению к каждому из углов ориентации n для n =

2, 3, 4, ... дает бесконечную систему однотипных уравнений

Уравнение, получаемое после минимизации энергии (1) по отношению к углу ориентации поверхностного момента 1 несколько отличается от (29) и имеет вид

Существенной чертой континуального приближения является предположение о малости разности между величинами углов ориентации соседних атомных слоев. Поэтому используются следующие разложения.

С учетом этих разложений проблема описания СМС состояния сводится к решению дифференциального уравнения второго порядка.

с граничным условием на поверхности пленки

17

Как видно из этой формулы, СМС реализуется в ферромагнетике с анизотропией типа легкая плоскость, если выполнено условие |cos (0)| < 1. Решение этого неравенства с учетом (35) дает kB < kS2. Аналогичное рассмотрение случая kS > 0, kB < 0 приводит к неравенству – kS2 < kB. Оба графика kB = kS2 и kB = – kS2 представлены на Рис. 8

штриховыми линиями

Рис. 8. Магнитная фазовая диаграмма, полученная здесь с учетом дискретности в расположении атомных слоев (сплошная линия), формулы (13) и (15). Магнитная фазовая диаграмма, полученная в континуальном приближении в соответствии с результатами работы [2] (штриховая линия), формула (35). Магнитная фазовая диаграмма, полученная в модифицированном континуальном приближении, в котором учтены вторые производные в граничных условиях в соответствии с (38) (штрихпунктирная линия).

Как видно, континуальное приближение не дает областей, в которых СМС существует независимо от того, насколько велика константа объемной анизотропии, что,

как указывалось выше, является нефизичным результатом. Действительно, на фазовой

18

диаграмме, представленной на Рис. 8, область, отвечающая СМС, полученная в континуальном приближении, ограничена сверху параболой kS = kB2 для любых значений константы поверхностной анизотропии kS.

Для упрощения процедуры сравнения результатов, полученных в континуальном приближении, с нашими результатами разложим правую часть неравенства (13),

определяющего критерий СМС в точке kS = 0.

Этот результат показывает, что в континуальном приближении (kB < kS2) учитывается только первое слагаемое в (36) и, таким образом, оно не дает точного описания. Как следствие, переоценивается величина константы поверхностной анизотропии.

Действительно, как следует из (36) и Рис. 6 в рамках приближения дискретного приближения, использованного в настоящей работе, для заданной величины константы объемной анизотропии kB > 0 СМС появляется при меньших значениях константы поверхностной анизотропии. Относительная ошибка определяется формулой

Величина константы объемной анизотропии kB для таких металлов как Fe, Co и Ni может быть оценена исходя из данных по толщине доменной стенки , поскольку kB = 1/ 2. В

соответствии с данными, представленными в [8], (в единицах параметра решетки) равна

138, 36 и 285 для Fe, Co и Ni соответственно. Для Fe по формуле (37) получается, что относительное расхождение результатов составляет 1.4 %. Таким образом, для этих металлов относительная ошибка, определяемая формулой (36), мала. С другой стороны в искусственно создаваемых многослойных пленках наблюдаются значительные отклонения вектора магнитного момента на атомном масштабе по глубине, и,

следовательно, можно ожидать более существенные в координатах точки (kS, kB) на фазовой диаграмме. Это будет продемонстрировано в следующем разделе.

Расхождение между полученными здесь результатами и полученными в континуальном приближении происходят из-за несогласованности формы континуального приближения, использованного в [2] и [3]. Суть его состоит в том, что в то время как дифференциальное уравнение на профиль (30) было получено с учетом вторых производных, в граничном условии (31) они учтены не были. Очевидно, что это несправедливо вблизи поверхности, где отличия в ориентации моментов соседних слоев больше, чем в объеме. Таким образом, следует учесть вторые производные при трактовке граничного условия на поверхности пленки.

19

Учет вторых производных в граничном условии (30) при разложении (31) приводит к другому виду граничного условия на поверхности пленки

Промежуточное решение дифференциального уравнения (32) может быть записано в виде

Подстановка выражений (39) и (40) в модифицированное граничное условие (38)

приводит к следующему результату

Анализ этой формулы показывает, что учет вторых производных в граничном условии

(38) приводит к появлению области на фазовой диаграмме (kS, kB), где СМС имеет место независимо от того насколько велика константа объемной анизотропии kB. Линия,

ограничивающая область, отвечающую СМС при учете вторых производных в граничном условии, показана на Рис. 8 как штрих пунктирная линия. Как видно из этого рисунка,

полученный результат все еще не совсем точный, поскольку в соответствии с (41) область,

где СМС реализуется всегда, имеет место при kS < –1/2, тогда как на самом деле это должно происходить при ks < – 1. Также увеличение kB при –1/2 < kS < 0 приводит к СПП из СМС в однородное состояние, а при дальнейшем увеличении величины kB к обратному СПП в СМС. Следовательно, опять получается нефизичный результат. С другой стороны условие появления СМС (41) более точное по сравнению с условием (35) по крайней мере,

при малых значениях kB и kS.

Подводя итог сравнению примененного метода и континуального приближения можно заключить, что приближение дискретных слоев дает более адекватную фазовую диаграмму для полубесконечного кристалла. В отличие от континуального приближения этот метод позволяет рассмотреть также магнитные свойства тонких пленок, где число атомных слоев мало. В частности он позволяет описать СПП с толщиной из однородного состояния в СМС для пленки, нанесенной на сильномагнитную подложку, и обратный СПП из СМС в однородное состояние для пленки, нанесенной на немагнитную подложку.

20