3. Некоторые математические преобразования, используемые при обработке изображений

   1. Анализ в частотном пространстве

Изображения в ЯМ представляют собой пространственные распределения зарегистрированной эмиссии р/н. Такое способ часто называют представлением в пространственном домене (области). Вместе с тем нередко возникает необходимость преобразовать данные изображения в так называемый частотный домен. Это преобразование основывается на фундаментальном факте, что любую математическую функцию можно представить в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций различной частоты и различных фаз (термин фаза относится к начальной точке этих функций) (Фурье, 1807 г.). Такая математическая операция называется преобразование Фурье, при этом исходная информация преобразуется в другую более удобную форму. Как только это сделано, изменяются перспективы исследований, появляется возможность более глубокого понимания объекта. Особенно важное значение такое преобразование приобретает при модификации и фильтрации изображений.

Имея математическое описание изображения в виде двумерной функции , ее двумерное Фурье преобразование можно выразить в следующем виде:

(5.3)

где u и v – декартовые координаты в комплексной плоскости; (уравнение Эйлера устанавливает:).

Обратное преобразование Фурье имеет вид:

(5.4)

Таким образом, измеренное изображение может быть представлено в виде зарегистрированных отсчетах в каждой пространственной позиции или в виде амплитуд и фаз для каждой частоты. Высокочастотная составляющая изображения в частотном домене содержит информацию о краях и быстро изменяющихся районах (т.е. с большой разницей плотности счета между близко расположенными объектами), в то время как низкочастотная составляющая содержит информацию о районах с относительно медленно меняющейся плотностью счета. На рис. 5.7 показан пример преобразования Фурье поперечного изображения головного мозга. Единицы измерения вдоль осей u и v обычно являются число циклов на сантиметр или циклов на пиксель.

Рис. 5.7. Поперечное изображение мозга (а) и его соответствующее двумерное преобразование Фурье [4]

3.2. Теория выборки

Для каждого фотона, испытывающего взаимодействие в детекторе гамма-камеры, генерируется три аналоговых сигнала. Два сигнала представляют X-, Y- пространственные координаты точки взаимодействия фотона, и третий сигнал указывает, какая энергия была поглощена при взаимодействии. Теоретически зарегистрированное изображение есть непрерывная функция, являющаяся проекцией 3-мерного распределения р/н внутри пациента на двумерную плоскость передней поверхности гамма-камеры. Однако так как цифровой компьютер работает с дискретными числами, непрерывные функции, представляющие изображения, подвергаются выборке (англ. sampling) или делению на 64 × 64, 128 × 128, 256 × 256 матриц или дискретных пиксельных элементов. Эта операция выполняется с помощью конвертирования аналоговых X-, Y-позиционных сигналов в дискретные величины с помощью АЦК (см. главу 3).

Возникает вопрос: полноценно ли выборочная версия функции представляет ее непрерывную форму, и не происходит ли при таком преобразовании потеря информации? Ответ на этот вопрос дает теорема выборки. Для простоты анализа рассмотрим одномерную функцию f(x). В теореме выборки доказывается, что если преобразование Фурье функции f(x) является ограниченным в частотном домене, т.е. если F(u) равно нулю для всех частот выше чем определенная частота u_c, тогда непрерывная функция f(x) может быть однозначно определена из знания N выборочных значений:

(5.5)

где пространственный интервал выборки (или размер пикселя) равен

(5.6)

В уравнении (5.5) j относится к номеру выбранного значения, например, f(5) означает пятое выбранное значение. Функция δ(x) определена следующим образом:

(5.7)

Если условие (5.6) выполняется, то функция f(x) полностью восстанавливается из ее выборки, используя уравнение:

(5.8)

Уравнение (5.6) следует, что теорема выборки накладывает ограничение на максимальное расстояние между выборочными образцами (). Другими словами, выборочные интервалы должны быть, по крайней мере, составлять обратное величину для двух высших частот функции интереса. Обратная величина Δx часто называется частотой выборки, а (1/(2·Δx) частотой Найквиста.

Что случится, если функция выбирается с максимальным пространственным интервалом (размером пикселя) большим, чем 1/(2u_c)? В этом случае первоначальная функция не будет полностью восстанавливаться из ее выборочных значений, и восстановленная функция будет содержать повышенные частоты под видом пониженных частот. Этот феномен получил название смещение (англ. aliasing).