2.7. Определение координат точки пересечения прямой и плоскости в пространстве

Если прямая задана параметрически r = r₀ + l и уравнение плоскости имеет вид: (r – r₁ , l )=0 , то эта задача решалась в предыдущем параграфе.

Если прямая задана в виде: , то ее пересечение с плоскостьюсводится к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными (см. рис. 2.17)

Рис. 2.17. Точка пересечения трех плоскостей

2.8. Определение координат проекции точки на прямую на плоскости, проекции точки на плоскость в пространстве

Проекция точки на прямую(r – r₀ , N )=0 на плоскости.

Если прямая задана общим уравнением , N = ,то составляется уравнение прямой r = r₁ + N, проходящей через точку и направляющим векторомl = N . После чего находится точка пересечения этой прямой с исходной прямой: (r₁ + N – r₀ , N )=0 (N , N )= (r₀ – r₁ , N ) . Радиус вектор этой точки будет равен: r = r₁ + N (r₀ – r₁ , N ) / (N , N ) (см. рис. 2.18) .

Рис. 2.18. Проекция точки на прямую

Аналогично решается задача нахождения проекции точки на плоскость

(r – r₀ , N )=0 в пространстве. В векторном виде решение выглядит точно так же, как и в плоском случае.

Уравнение проектирующей прямой: r = r₁ + N , радиус вектор-проекции будет равен: (см. рис. 2.19)

Рис. 2.19. Проекция точки на плоскость

2.9. Базовые задачи

Напоминание.

Прямую, проходящую через точку с направляющим вектороммы договорились обозначать.

2.9.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

Три точки . Точки искомой плоскостиудовлетворяют условию: вектора,,должны быть компланарны, то есть, должно быть равно нулю смешанное произведение (см. рис. 2.20)

(,,)=0,

.

Рис. 2.20. Уравнение плоскости по трем точкам

2.9.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую

Дана точка и прямаяr = r₀ + l .

Точки искомой плоскости удовлетворяют условию: вектора,l, должны быть компланарны. Искомое уравнении плоскости:

(,l, ) = 0.

2.9.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, параллельно заданной плоскости

Дана точка и плоскость.

У искомой плоскости общий перпендикуляр с заданной плоскостью, поэтому уравнение искомой плоскости будет: .

2.9.4.Составить уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую, параллельно заданному вектору

Дана прямая с точкой и направляющим вектором. Искомая плоскость будет иметь нормаль (см. рис. 2.21).

Рис. 2.21. Уравнение плоскости через точку

2.10. Разные задачи

2.10.1. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Первый способ. Заданы прямые:

r = r₁ + l₁ , r = r₂ + l₂ .

Рис. 2.22. Расстояние между прямыми

1) Вектор, перпендикулярный обеим прямым N = [l₁ , l₂] .

2) По N и точке составляем уравнение плоскости, проходящей через вторую прямую, параллельно первой прямой: плоскость, проходящую через точкус нормальюN.

3) Находим расстояние от точки до плоскости(см. рис. 2.22).

Второй способ.

Находим высоту параллелепипеда, построенного на векторах l₁ , l₂ , , в основании которого лежит параллелограмм, построенный наl₁ , l₂ (см. рис. 2.23).

Ответ: .

Рис. 2.23. Высота паллелепипеда

2.10.2. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми

Рис. 2.24. Расстояние между параллельными прямыми

Задача решается одинаково, как для плоского, так и для пространственного случаев (см. рис. 2.24). Искомое расстояние равно высоте параллелелограмма, построенного на векторах l₁ , с основаниемl₁ . .

2.10.3. Составить уравнение прямой, проходящую через точку , заданную прямую, определяемую точкой, направляющим вектороми параллельно плоскости

Рис. 2.25. Уравнение прямой

Уравнение прямой будем искать в виде пересечения двух плоскостей (см. рис. 2.25).

1) Первая плоскость определяется точкойи нормалью.

2) Вторая плоскость проводится через точкуи прямую. Таким образом, эта плоскость проходит через и имеет нормаль.

2.10.4. Составить уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых

Общий перпендикуляр будем искать в виде пересечения двух плоскостей ,.

Рис. 2.26. Общий перпендикуляр

Последовательность действий (см. рис. 2.26):

1) общий перпендикуляр к прямым будет

2) нормаль к плоскости , проходящей через прямуюперпендикулярно:

3. сама плоскость определяется точкойи указанной нормалью

.

4. нормаль к плоскости проходящей через прямуюперпендикулярно:

5. сама плоскость определяется точкойи указанной нормалью

.

2.10.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую с точкой, направляющим вектором, перпендикулярно плоскости, проходящей через точкус нормалью.

Точка для решения задачи не понадобится и на рисунке она не показана.

Рис. 2.27. Уравнение плоскости

1. Находим перпендикуляр к искомой плоскости (см. рис. 2.27):

.

2) Искомая плоскость будет определяться точкойи нормалью.

2.10.6. Проекция точки на прямую в пространстве

Задана прямая и точка .

1) Строим проектирующую плоскость , проходящую через точкус нормалью.

2) Находим точку пересечения плоскости и прямой.

2.10.7. Симметричная точка относительно плоскости

Дана плоскость , определяемая точкойи нормальюи точка.

Рис. 2.28. Симметричная точка

1) Строится прямая , проходящая через точку, перпендикулярно плоскоси(см. рис. 2.28).

2) Находится точка пересечения этой прямой с плоскостью.

3) Искомая точка находится из треугольника:.

2.10.8. Симметричная точка относительно прямой в пространстве

Задана прямая и точка .

1) Находим проекцию точкина прямую, как это описывалось в пункте 2.10.6.

2) Искомая точка находится из треугольника:(см. рис. 2.29).

Рис. 2.29. Симметричная точка относительно прямой

2.10.9. Уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой

Заданы прямые , .

Плоскость , проходящая через первую прямую, параллельно второй прямай определяется, как плоскость, проходящая черезс нормалью.

2.10.10. Уравнение прямой, параллельной плоскостям и пересекающей две прямые

Прямая задана пересечением плоскостей . Две прямые имеют направляющие векторы l₁ , l₂ (см. рис. 2.30).

Рис. 2.30. Уравнение прямой

1) Находим направляющий вектор прямой:.

2) Строим плоскость , проходящую через прямуюl₁ , параллельно вектору l (базовая задача 2.9.4).

3) Строим плоскость , проходящую через прямуюl₂ , параллельно вектору l (базовая задача 2.9.4).

Ответ: .