2.5. Барицентрические координаты. Деление отрезка в данном соотношении. Пучок прямых. Пучок плоскостей.

Положение точки на отрезкеможно задать величиной, показывающей в каком соотношении точкаделит отрезок. Величинатакже определяет положение точки. Числа, однозначно определяющие положение точки на отрезке, называются барицентрическими координатами точки. Отметим следующие свойства барицентрических координат:

1..

2..

3..

Середина отрезка имеет координаты: .

Рассмотрим три точки на плоскости или в пространстве: . Любая точкатреугольникаоднозначно определятся тремя барицентрическими координатами:, обладающими следующими свойствами:

1..

2..

3..

Линейные операции сложения и умножения на числа над точками определяются так же, как и над векторами. Например, третье условие можно записать в виде: .

Геометрически числа определяются отношениями площадей треугольников,,ко всей прощади треугольника(см. рис. 2.12).

Рис. 2.12. Барицентрические координаты

Если в вершины треугольника поместить одинаковые массы, то центр тяжести такой системы будет иметь барицентрические координаты .

Так же как для треугольника вводятся барицентрические координаты для тетраэдра (не обязательно правильного). Положение внутренней точкитетраэдра однозначно определяется четырьмя числами, удовлетворяющими следующим свойствам:

1..

2..

3..

Геометрически барицентрические координаты равны отношениям объемов внутренних тетраэдров к объему тетраэдра(см. рис. 2.13).

Рис. 2.13. Смысл барицентрических координат

Если в вершины тетраэдра поместить одинаковые массы, то центр тяжести такой системы будет иметь барицентрические координаты .

Свойство 2 барицентрических координат называют еще разбиением единицы.

С помощью барицентрических координат описывают положение прямых и плоскостей в пучках. Вначале дадим определение пучка прямых.

Рассмотрим точку, определяемую двумя не параллельными прямыми:

.

Множество всех прямых, проходящих через эту точку назывется пучком прямых. Между множеством всех прямых пучка и множеством разбиения единицы имеется взаимно однозначное соответствие, именно, любая прямая из пучкаимеет свои барицентрические координаты, с помощью которых записывается ее уравнение:

.

Аналогичное положение имеет место с пучком плоскостей.

Рассмотрим прямую, определяемую двумя плоскостями: .Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через эту прямую. Любая плоскость пучка имеет свои барицентрические координаты через которые записывается ее уравнение:

.

Пример. Даны уравнения сторон треугольника: . Сотавить уравнение высоты, опущенной из вершины.

Эта высота принадлежит пучку или, что тоже,. Выпишем условие ортогональности высоты стороне:

. Или.

Рис. 2.14. Уравнения сторон треугольника

В уравнении прямой коэффициенты определяются с точностью до множетиля, отличного от нуля, поэтому возьмем . Таким образом, уравнение высоты будет (см. рис. 2.14):

Геометрия – это исскуство правильно рассуждать над ни куда не годными рисунками. Давид Гильберт.

2.6. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Дано: уравнение прямой в параметрическом виде: r = r₀ + l и точка r₁=.

Первый способ.

1. Составлям уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно прямой:

(r – r₁ , l )=0 .

2. Находим точку пересечения прямой и построенной плоскости:

(r₀ +l – r₁ , l )=0, ( l , l )= (r₁ – r₀ , l ) = (r₁ – r₀ , l ) / ( l , l ) . Радиус вектор искомой точки будет равен:r₂ = r₀ + l (r₁ – r₀ , l ) / ( l , l ) .

Находим расстояние между двумя точками (см. рис. 2.15).

Рис. 2.15. Пересечение прямой и плоскости

Второй способ.

Строим параллелограмм на векторах иl . Находим его площадь, как модуль векторного произведения и делим на длину основания l (см. рис. 2.16).

Рис. 2.16. Перпендикуляр на прямую