Глава 2. Прямые и плоскости

2.1. Уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве, ортогональных данному вектору и проходящих через данную точку

Выпишем уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно заданному векторуN . Эта прямая может быть описана, как геометрическое место точек , для которыхN : . Последнее соотношение, записанное в декартовых координатах, будет выглядеть следующим образом:

, (1)

где N=-нормаль, ,M=- текущая точка на прямой (см. рис. 2.1).

Рис. 2.1. Прямая на плоскости (общее уравнение)

Уравнение (1) называется общим уравнение прямой на плоскости. Уравнение (1) можно записать в векторном виде:

(1)

Отметим, что условием того, что уравнение (1) представляет уравнение прямой должно выполняться условие .

Аналогичные рассуждения можно провести и для плоскости в пространстве (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2. Общее уравнение плоскости

Уравнение прямой, не проходящей через начало координат можно представить в виде (общее уравнение прямой поделить на )

.

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезка. Геометрически числа имеют смысл отрезков, отсекаемых прямой на соответствующих осях.

Slide_2_2_1 «Уравнение прямой в отрезках»

Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно заданному векторуN , представляет собой геометрическое место точек , для которыхN : . Последнее соотношение, записанное в декартовых координатах, будет выглядеть следующим образом:

, (2)

где N=-нормаль, ,M=.Или в векторном виде

(2)

Уравнения (2) называются общим уравнение плоскости в пространстве. Для краткости, в этом случае, будем говорить, что задана плоскость .

2.2. Общее уравнение первого порядка на плоскости и в пространстве, его исследование

2.2.1.Общее уравнение первого порядка на плоскости.

Рассмотрим общее уравнение первого порядка:

.

Если , то приэто уравнение определяет всю плоскость (решением уравнения является любая точкана плоскости).

При уравнение не имеет решений и определяет, таким образом, пустое множество.

Если , то уравнение имеет бесконечно много решений. Геометрически это множество является прямой на плоскости, перпендикулярной вектору. Действительно, пустьнекоторое решение уравнения:. Тогда для любого решенияэтого уравнения будет справедливо равенство:, которое задает прямую на плоскости.

Slide_2_3_0 «Общее уравнении прямой на плоскости»

Отметим одно важное свойство общего уравнения прямой.

Отложим вектор нормали из какой нибудь точки прямой, заданной уравнением .Пусть какая либо точка плоскости, тогда

1. если , то точка лежит с той же стороны от прямой, что и вершина вектора,

2. если , то точка и вершина лежат с разных сторон от прямой,

3. если , то точка принадлежит прямой(см. рис. 2.3.).

Рис. 2.3. Расположение точек относительно прямой

Докажем это утверждение. Пусть точка прямой, тогдаи. Если векторотложен от прямой, например, из точки, то условие того, что точкалежит в той же стороны от прямой, что и вершина вектораможно записать в виде. Обозначим этот случай а). Если с другой стороны, то. Обозначим этот случайb). Или в развернутом виде: в случае а) ив случаеb). Итак, в первом случае , а во втором(см. рис.2.4).

Рис. 2.4. Разное расположение точек относительно прямой

2.2.2.Общее уравнение первого порядка в пространстве

Рассмотрим общее уравнение первого порядка в пространстве:

.

Если , то это, либо все пространство (, либо пустое множества ().

Если , то это уравнение определяет плоскость с вектором нормали.

Проверяется так же, как и для прямой на плоскости. Важное свойство общего уравнения плоскости в пространстве.

Отложим вектор нормали из какой нибудь точки плоскости, заданной уравнением .Пусть какая либо точка пространства, тогда

1. если , то точка лежит с той же стороны от прямой, что и вершина вектора,

2. если , то точка и вершина лежат с разных сторон от прямой,

3. если , то точка принадлежит плоскости(см. рис. 2.5).

Рис. 2.5. Расположение точек относительно плоскости

Проверяется так же, как и для прямой на плоскости.