1.6. Преобразование координат
1.6.1.Преобразование поворота
Рассмотрим
две системы декартовых координам с
общим началом в точке O,
полученные
поворотом одна из другой на угол
.
Орты осей обозначимi,j
в
старой
системе координам x,y
и I,J
в новой
системе координат X,Y.
Таким образом,
для точки плоскости M
будем иметь
(см. рис. 1.21):
=x
i
+ y
j
= X
i
+ Y
J
Рис. 1.21. Поворот осей
Slide_1_21 «Преобразование координат на плоскости (поворот)»
Выпишем соотношения между базисными векторами старой и новой координатных систем.
I
=(I,i)
i+(I,j)
j
=
i+
j
,где
(I,i)=
,
(I,j)=
.Далее
J=[[I,j],I]
= [[I,j],
i+
j]=
[[I,j],
i]+
[[I,j],
j]=
j+
(-i)
. Таким
образом, J
= -
i
+
j
.
Обозначим,
для краткости, a
=
,
тогда X=(a
,I)
=(a
,
i+
j
)=
x
+y
. Аналогично,
Y=(a
,J)
=(a
,
i+
j
)=
=
- x
+y
.
Получены:
формулы
преобразования координат при повороте
осей на угол
:
или
Пример.
В уравнении второго порядка
с помощью поворота системы координат
избавиться от смешанного произведенияxy.
Коэффициент
при
приравняем нулю:
или
.
Равенство
можно записать в другом виде. Обозначим
через
,
тогда равенство
запишется в виде:
.
Выпишем
выражения для коэффициентов
:
Отметим,
что
.
1.6.2.Преобразование сдвига
Рассмотрим две системы декартовых координам с общим началом в точке O, полученные сдвигом одна относительно другой. Орты осей обозначим i,j в старой системе координам x,y и I,J в новой системе координат X,Y. Таким образом, для точки плоскости M будем иметь (см. рис. 1.22):
=x
i
+ y
j
= X
I
+ Y
J
Рис. 1.22. Сдвиг осей
Slide_1_22 «Преобразование координат на плоскости»
Пусть
координаты нового начала
равны:
.
Тогда
=
=
.
Отсюда получаем соотношение между
старыми и навыми координатами:
формулы преобразования координат при сдвиге
1.6.3. Полянные и сферические координаты
Положение
точки на плоскости можно определять
расстоянием r
этой точки от начала координат и углом
поворота радиус вектора точки
по отношению к горизонтальной оси x.
Ось
в этом случае называется полярной осью
а пара чисел
называется полярными координатами.Связь между
декартовыми и полярными координатами
выражается формулами:
.
Slide_1_22_1 «Порярные координаты»
В пространстве положение точки можно определить тремя координатами (сферические координаты), которые связаны с декартовыми координатами формулами:
,
где
-расстояние
от точки до начала координат,
-угол между
радиус вектором точки и плоскостью
,
-полярный
угол проекции точки на плоскость
в системе
координат
.
Slide_1_22_2 «Сферические координаты»
1.7. Смешанное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей
1.7.1. Определение.
Смешанным произведением трех векторов a , b , c назвается выражение
( [ a , b ], с ). Обозначается смешанное произведение (a , b , c) .
(a , b , c) = ( [ a , b ], с ) .
Из
определения получаем:
(a
, b
, c)
=
[ a
, b
]
с
=
,
где
-
площадь основания, а
-
высота параллелепипеда, построенного
на векторах
a
, b
, c
. Модуль
смешанного произведения
(a
, b
, c)
равен объему параллелепипеда, построенного
на векторах a
, b
, c
. (a
, b
, c)
> 0 , если тройка векторов – правая, (a
, b
, c)
< 0 , если тройка векторов – левая, (a
, b
, c)
= 0 , если тройка векторов компланарная
(см. рис. 1.23).
Рис. 1.23. Модуль смешанного произведения
Slide_1_23 «Геометрический смысл смешанного произведения»
Следствие. (a , b , c) = ( [ a , b ], с ) =(a , [ b , c ] ).
Равенство нулю смешанного произведения означает компланарность векторов a , b , c .
1.7.2. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах
Если x =x1 i + x2 j + x3 k , y =y1 i + y2 j + y3 k, z =z1 i + z2 j + z3 k , то
(x
, y
, z)
=
.
Доказательство:
(x , y , z) = ( [ x , y ], z ) = (( x2 y3 – x3 y2 , x3 y1 – x1 y3 , x1 y2 – x2 y1), c) =
=
(x2
y3
–
x3
y2
)z1
+( x3
y1
– x1
y3
)z2
+(
x1
y2
– x2
y1)z3=
.
Slide_1_23_1 «Смешанное произведение»
Следствие. Необходимым и достаточным условием равенства нулю определителя
=0,
является
компланарность векторов
x =(x1 , x2 , x3 ) , y =(y1 , y2 , y3 ), z =(z1 , z2 , z3 ).