Глава 4. Поверхности второго порядка

4.1. Понятие поверхности 2-го порядка

4.1.1. Определения. Некоторые простейшие типы поверхностей

Определение. Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек , удовлетворяющих уравнению

(1)

В этом уравнении не все старшие коэффициенты равны нулю.

1. Распадающиеся поверхности

Поверхность, уравнение которой можно преобразовать к виду

представляет собой распадающуюся на две плоскости

поверхность.

2. Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью 2-го порядка называется поверхность второго порядка, уравнение которой в некоторой системе координат не содержит явно одно из переменных.

Например, уравнение

,

где Ф – многочлен второй степени предсталяет собой цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси отсутствующего переменного z , пересекающей плоскость по направляющей кривой второго порядкав плоскости(см. рис 4.1, 4.2).

Рис.4.1. Цилиндрическая поверхность (параболический цилиндр)

Рис.4.2. Цилиндрическая поверхность (эллиптический цилиндр)

Slide_4_2 «Цилиндрическая поверхность»

3. Поверхности вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, уравнение которой в некоторой системе координат имеет вид:

.

В первом случае, для построения графика поверхности можно поступить следующим образом: в плоскости строится график функцииили, полученной из уравнения. Исходная поверхность получается вращением этой кривой вокруг оси(см. рис. 4.3).

Рис.4.3. Поверхность вращения

Slide_4_3 «Поверхность вращения»

4. Конические поверхности

Конической поверхностью второй степени называется поверхность, уравнение которой в некоторой системе координат имеет вид , где-однонодный многочлен второй степени.

Однородной функцией называется функция, удовлетворяющаю соотношению

,(степень однородности n),

для любых допустимых .

Для многочлена второй степени степень однородности может быть равна только двум.

Пример 1. -степень однородности равна двум.

Пример 2. -степень однородности равна двум.

Пример 3. -не является однородной функцией.

Из определения однородной функции следует, что для такой поверхности S, если точка , то и точка. Геометрически это означает, что наряду с точкойповерхности обязана принадлежать и вся прямая, см. рис. 4.4.

Рис.4.4. Коническая поверхность

Slide_4_4 «Коническая поверхность»

2. Каноническое уравнение поверхности 2-го порядка

Можно показать, что уравнение любой поверхности второго порядка поворотами и сдвигами системы координат можно привести к виду

(1)

или

(2)

4.2.1. Исследавание центральных поверхностей 2-го порядка

1) Расстотрим случай (1)

,

где и имеютодинаковые знаки.

1.1) . Вырожденный эллипсоид (единственная точка-начало координат).

1.2) имеет тот же знак, что и. Мнимый эллипсоид (пустое множество).

1.3) имеет противоположный знак тому, который имеют. В этом случае поверхность представляет собой эллипсоид, см. рис. 4.5.

Рис.4.5. Эллипсоид

Slide_4_5 «Эллипсоид»

Slide_4_5_1 «Эллипсоид (горизонтальные сечения)»

После деления уравнения на соответствующую величину, уравнение может быть приведено к виду

. (3)

Такой эллипсоид получается из единичной окружности «сжатием» по осям враз, соответственно. То же самое можно выразить другими словами. При замене переменных:(растяжения по осям) в новых координатахполучим уравнение единичной сферы. Для исследования поверхности (3) можно рассматривать сечения поверхности плоскостями. В этих сечениях получаются кривые второго порядка, эллиптического типа:

(4)

В случае получаем мнимый эллипс. При- вырожденный эллипс. Если, то в сечении получается эллипс с полуосями:по осии полуосьюпо оси.

2. Рассмотрим случай (1)

,

где и имеютразные знаки. Это означает, что два из этих коэффициентов имеют один знак, а оставшийся один коэффициент имеет противоположный знак. Для определенности будем предполагать, что .

2.1) . После небольшого преобразования уравнениеприводится к виду

, (5)

задающее коническую поверхность. После соответствующего изменения масштаба по осям получим уравнение прямого, кругового конуса, см. рис. 4.6.

Рис.4.6. Прямой, круговой конус

Slide_4_6 «Конус»

Для исследования поверхности (5) можно рассматривать сечения поверхности плоскостями . В этих сечениях получаются кривые второго порядка, эллиптического типа:

В случае получаем вырожденный эллипс. Если, то в сечении получается эллипс с полуосямипо осии полуосьюпо оси.

2.2) . После небольшого преобразования уравнениеприводится к виду

. (6)

Если изменить масштаб по осям , то получим уравнение. Это уравнение определяет однополосной гиперболоид, см. рис. 4.7.

Рис.4.7. Однополосной гиперболоид, как линейчатая поверхность

Для исследования поверхности (6) можно рассматривать сечения поверхности плоскостями . В этих сечениях получаются кривые второго порядка, эллиптического типа:

В сечении получается эллипс с полуосямипо осии полуосьюпо оси. Минимальный эллипс получается в горловине гиперболоида, который имеет полуоси, см. рис. 4.8.

Рис.4.8. Однополосной гиперболоид, сечения горизонтальными плоскостями

Slide_4_8 «Однополосной гиперболоид»

Slide_4_9 «Однополосной гиперболоид (горизонтальные сечения)»

2.3) . После небольшого преобразования уравнениеприводится к виду

. (7)

Если изменить масштаб по осям , то получим уравнение. Это уравнение определяет двухполосной гиперболоид, см. рис. 4.9.

Рис.4.9. Двухполосной гиперболоид (сечения горизонтальными плоскостями

Slide_4_8_2 «Двухполосной гиперболоид (горизонтальные сечения)»

Для исследования поверхности (7) можно рассматривать сечения поверхности плоскостями . В этих сечениях получаются кривые второго порядка, эллиптического типа:

В случае получаем мнимый эллипс (пустое множество). При- вырожденный эллипс (точки). Если, то в сечении получается эллипс с полуосямипо осии полуосьюпо оси.

3) Расстотрим случай (1)

,

где один или два из коэффициентов равны нулю. В этом случае, как уже отмечалось ранее, получается цилиндрическая поверхность.

4.2.2. Исследавание нецентральных поверхностей 2-го порядка

1) Расстотрим случай (2)

.

Сдвигом системы координат по оси уравнение поверхности приводится к виду.

где и имеютодинаковые знаки. Поверхность в этом случае представляет собой эллиптический параболоид (см. рис. 4.10) с каноническим уравнением

(8)

Рис.4.10. Эллиптический парабалоид (сечения горизонтальными плоскостями)

Slide_4_10 «Эллиптический параболоид (горизонтальные сечения)»

Для исследования поверхности (8) можно рассматривать сечения поверхности плоскостями . В этих сечениях получаются кривые второго порядка, эллиптического типа (выберем для определенности знак минус в правой части):

В случае получаем мнимый эллипс (пустое множество). При- вырожденный эллипс (точка). Если, то в сечении получается эллипс с полуосямипо осии полуосьюпо оси.

2) Расстотрим случай (2)

.

Сдвигом системы координат по оси уравнение поверхности приводится к виду,

где иимеютразные знаки. Поверхность в этом случае представляет собой гиперболический параболоид (седло см. рис. 4.11) с каноническим уравнением

(9)

Рис.4.11. Гиперболический парабалоид (седло)

Slide_4_11 «Гиперболический параболоид (седло))»

Для исследования поверхности (9) можно рассматривать сечения поверхности плоскостями . Для определенности рассмотрим первый случай из (9).

В этих сечениях получаются кривые второго порядка, гиперболического типа :

В случае в сечении получаем пару прямых, совпадающих с координатными осями. При- сечение представляет собой гиперболу с вершинами ветвей, располагающихся на оси. Если, то в сечении получается гипербола с ветвями по оси.

3) Расстотрим случай (2)

.

Сдвигом системы координат по оси уравнение поверхности приводится к виду,

где один или оба равны нулю. Поверхность в этом случае является цилиндрической.