2.12. Сложение пар сил

Теорема.Две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной парой сил, векторный момент которой равен сумме векторных моментов заданных пар сил.

Доказательство.Рассмотрим пары сили, т.е.–и–. Поскольку пару сил можно видоизменять, сохраняя ее момент, то приложим силы рассматриваемых пар в точкахАиВ. Обозначим,,+и+. Поскольку, то эти силы образуют пару сил. Рассмотрим момент пару сил:

+

=+=+=

В частном случае, если плоскости параллельны или совпадают, доказательство аналогично, только вместо векторных моментов рассматриваются алгебраические.

Если на твердое тело действует система, состоящая из nпар сил, то пользуясь доказанной теоремой можно все эти пары сил последовательно сложить:

.

Если все пары сил расположены в одной плоскости, то рассматривают алгебраические моменты:

.

2.13. Условия равновесия системы пар сил

Для равновесия системы пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

.

Спроецируем последнее уравнение на оси координат:

,,.

Для системы пар сил, расположенных в одной плоскости, условие равновесия будет иметь вид:

.

2.14. Приведение силы к заданному центру

1. Теорема о параллельном переносе силы.

Теорема.Не изменяя действия на твердое тело силу можно параллельно перенести из одной точки тела в другую, добавив при этом пару сил, момент которой равен моменту переносимой силы относительно новой точки приложения.

Доказательство.Возьмем произвольную точку В и приложим к ней систему сил эквивалентную нулю.

,.

~~.

.

Пара сил называется присоединительной парой сил. Процесс параллельного переноса силы из одной точки в другую называется приведением силы к заданной точке.

2. Теорема Пуансо (основная теорема статики).

Главным вектором системы сил, приложенных к твердому телу, называют вектор, равный геометрической сумме сил системы:

.

Главным моментом системы сил, приложенных к твердому телу относительно данной точки (или данного центра), называют вектор, равный геометрической сумме векторных моментов сил системы относительно этой точки:

.

Теорема. Произвольную систему сил, приложенную к твердому телу, в общем случае в данном центре можно привести к силе, равной главному вектору системы сил, и к паре сил, векторный момент которой равен главному моменту системы сил в этом центре.

Доказательство.Рассмотрим твердое тело, на которое действует произвольная система сил. Выберем произвольную точкуО– центр приведения и приведем все силы системы в точкуО. Применим теорему о параллельном переносе силы.

~,,,…,.

Обозначим через , тогда~. Система пар сил,,…,~. Таким образом исходная система сил~,. Причем– главный вектор системы, а– главный момент системы сил в точкеО.

2.15. Приведение плоской системы сил

Плоской системой сил, приложенной к твердому телу, называется система сил, линии действия которых расположены в одной плоскости.

Поскольку все силы системы расположены в одной плоскости, то сила. равная и пара сил, к которым приводится эта система также лежат в этой плоскости. Для плоской системы сил рассматривается главный алгебраический момент, равный.

Выберем систему координат xyzс началом в центре приведения системы. Главный вектор системы сил:,,,,,,,.

Главный момент: ,,

,,

,,,.