2.8. Теорема об эквивалентности двух пар сил,

расположенных в одной плоскости

Теорема.Пару сил, приложенную, к твердому телу, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющей с первой парой одинаковые алгебраические моменты.

Доказательство.Продолжим линии действия сил пары и проведем в плоскости их действия две параллельные прямые произвольного направления. Перенесемив толчки пересечения построенных параллельных прямых с линиями действия сил пары. Разложим силы на составляющие:,.~. Так как~ 0, то~. ,. Так как треугольника АВС иABD имеют общее основание и равные высоты, то их площади равны, а значит .

Из доказанной теоремы следует, что пару сил в ее плоскости действия как жесткое целое можно произвольно перемещать. Не изменяя плоскости действия пары сил и направления вращательного воздействия на твердое тело, можно изменять модули действия сил пары и плечо, сохранив при этом алгебраический момент пары сил.

2.9. Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость

Теорема.Не изменяя действия пары сил на твердое тело, ее можно перенести в любую плоскость, параллельную плоскости действия пары сил.

Доказательство.Рассмотрим пару сил. Возьмем произвольную плоскость, параллельную плоскости действия пары. СпроецируемАиВна параллельную плоскость, получимА₁иВ₁. Приложим кА₁иВ₁ системы сил эквивалентные нулю:

,–, ,–. ~ Введем в рассмотрение +и+. При этомили~ 0. Следовательно~~ ~.

2.10. Векторный момент пары сил

Векторным моментом пары сил называется вектор, модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на плечо пары. Векторный момент пары сил направлен перпендикулярно к плоскости действия сил пары в ту сторону, откуда стремление пары сил вращать твердое тело наблюдается против хода часовой стрелки.

Векторный момент пары сил условно прикладывается в середине отрезка, соединяющего точки приложения сил пары.

= –, =, . Справедлива формула , , т.к. .

Векторный момент пары сил не зависит от переноса сил пары вдоль их линии действия. Момент пары сил никогда не равен нулю.

Используя рассматриваемое понятие можно сформулировать общее условие эквивалентности двух пар сил: две пары сил будут эквивалентны, если их векторные моменты геометрически равны.

2.11. Теорема о сумме моментов сил пары

Теорема.Сумма векторных моментов сил пары относительно некоторой точки не зависит от положения этой точки и равна векторному моменту пары сил.

Доказательство.Рассмотрим пару сил. Возьмем произвольную точкуО.

или

.

Следствие.Выберем в качестве точкиОсначала точкуА, затемВ.

,

,

, т.е.

векторный момент пары сил равен векторному моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы пары.

Если рассматривать алгебраические моменты пары сил, то доказанная теорема и следствие будут формулироваться следующим образом.

Теорема.Сумма алгебраических моментов сил пары относительно некоторой точки не зависит от положения этой точки и равна алгебраическому моменту пары сил:

.

Следствие.Алгебраический момент пары сил равен алгебраическому моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы пары:

.