10. 3. Вращение тела вокруг неподвижной точки

Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям.

Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.

1. Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой.

П

Рис. 9.5.

Рис. 9.5.

оложение тела определяется тремя углами. Используются различ­ные системы углов. Например, кора­бельные углы, самолётные углы и др. Но самыми распространёнными яв­ляются углы Эйлера: (пси), (тета),(фи).

Положение тела опре­деляется следующим образом. На­значаются две системы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси . На­чало которых берётся в неподвижной точкетела (рис. 9.5). Вторая сис­тема, оси, связывается с телом. Поэтому положение тела будет

опреде­лятся как положение этих осей относи­тельно неподвиж­ных.

К

Рис. 9.5.

Рис. 9.4.

Рис. 9.5.

огда углы Эйлера равны нулю, под­вижные оси совпадают с непод­вижными. Чтобы опреде­лить положение тела, соот­ветст­вующее заданным углам Эйлера, производим следующие действия. .Сначала подвижные оси, а значит и тело, поворачи­ваем на уголвокруг оси. При этом осииотойдут от осейив гори­зон­тальной плоскости и осьзаймёт по­ложение(рис.9.5)..Затем тело вращаем вокруг но­вого поло­жения оси(прямой) на угол. Осьотойдёт от осина этот угол, а осьприподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения осина угол. Осьотойдёт от положенияв на­клонной плоскости, перпендикуляр­ной оси. Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не пока­зано).

Линия пересечения неподвижной плоскости и подвижной, прямая, называ­етсялинией узлов. Уголназываетсяуглом прецессии, угол–углом нутации, угол–углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.

При движении тела углы Эйлера изменя­ются по определённым законамккккккккккккф . (9.8) которые называются уравнениями вра­щения.

На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис. 9.6). Ось волчка описывает конус вокруг неподвижной оси. Это вращение определяется углом(говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации.

А

Рис. 9.6.

вращение волчка вокруг своей оси,

определяемое углом – собственное вращение.

2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.

П

Рис. 9.7.

Рис. 9.7.

роведём в теле сферическую поверх­ность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке(рис. 9.7). По­кажем у тела какие-нибудь две точкии, расположенные на этой сфере. Со­единим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками). Переместим тело в новое по­ло­жение. Точки, а значит и дуга, займут по­ложениеи.Соединим точкииидугами большого радиусаи. Посередине этих дуг прове­дём им перпендикулярные дуги и най­дём их точку пересечения.Соединим эту точкус точками. Получим два сфе­рических треугольникаи, расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами (, аи– как дуги равноудалённые от пер­пендикуляров). Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину, то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой.

Поэтому можно сделать вывод, что тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через не­подвижную точку .Это утверждение – есть теорема Даламбера-Эйлера.

К

Рис. 9.7.

онечно, такое перемещение не яв­ля­ется истинным движением тела. На самом деле тело переходило из первого положе­ния в другое каким-то другим, наверное бо­лее сложным путём. Но, если времятакого пере­хода мало, то это перемещение будет близко к действительному. А при можно предположить, что для данного момента времени тело поворачива­ется вокруг некоторой осиР, проходя­щей через неподвижную точку, вращаясь вокруг неё с угловой скоро­стью. Конечно, для каждого дру­гого момента времени эта ось рас­поло­жена иначе. Поэтому осьназываютмгновенной осью вращения, а угло­вую скорость–мгновенной угловой скоростью, вектор которой на­прав­лен по оси.

Рис. 9.8.

3) Скорость точек тела.

По теореме Даламбера-Эйлера за малое времядвижение тела можно представить как вращение вокруг неподвижной осис некоторой угловой скоростью(рис.9.8). Тогда скорость точки, по (9.5),

Рис. 9.8.

В пределе, при, угловая скоростьбудет приближаться к мгновенной угловой скорости, направленной по мгновенной оси вращения, а скорость точки- к истинному значению:

=

. (9.9)

Н

Рис. 9.8.

о таким же образом находится скорость точки при вращении тела вокруг оси, по которой направлен вектор, в нашем случае – по мгновенной оси вращения. Поэтому скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси. Величина скорости(рис. 9.8).

О

Рис. 9.9.

пределение скоростей то­чек тела значительно упроща­ется, если извест­на мгновенная ось вращения. Иногда её можно найти, если уда­стся обна­ружить у тела хотя бы ещё одну точку, кроме, скорость кото­рой в данный момент равна нулю, и провести осьиз не­подвижной точкиOчерез эту точку. Так как мгновенная ось вращения – геометрическое ме­сто точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени.

Пример 9.2.Водило, вращаясь вокруг вер- тикальной осис угловой ско- ростью,застав­ляет диск ра- диусакататься по горизон­тальной плоскости (рис. 9.9).

Е

Рис. 9.9.

Рис. 9.10.

сли представить диск как ос­нование конуса с вершиной в не­подвиж­ной точке, то движение диска можно назвать вращением вокруг этой непод- вижной точки.

Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращенияпроходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скоростибудет направлен по этой оси.

Точка вместе с водиломвращается вокруг оси. Поэтому её ско­рость(рис. 9.9). Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг осии направление вектора.Величина угловой ско­рости(h– рас­стояние отдо оси). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси. Так, например, скорость точки. Так каки, тои

4) Ускорение точек тела.

Сначала определим угловое ускорение тела. При движении тела вектор угловой скоростиизменяется и по величине, и по направлению. Точка распо­ложен­ная на его конце будет двигаться по некоторой траектории со скоростью(рис. 9.10). Если рас­сматривать векторкак ра­диус-вектор этой точки, то

И

Рис 9.10.

так. Угловое ускорение тела можно опреде­лить как скорость точки, расположен- ной на конце вектора угловой скорости:

. (9.10)

Этот результат называется теоремой Резаля.

Теперь обратимся к определению ускорения точек. Ускорение какой-либо точки тела

, (9.11)

есть сумма двух векторов.

Первый вектор. Модуль его, гдеh₁– расстояние от точкидо вектора.Направлен он перпендику­лярнои. Но таким же способом определяет-­ ся касательное ускорение. Поэтому первую состав­ляющую ускорения определяют как ка­сательное уско- рение, предпола­гая, что тело вра- щается вокруг оси, совпадающей с векто­ром. И обо­значается этот вектор ускорения так

(9.12)

В

Рис 9.11.

торой векторМодуль его, но, т.к. векторыипер- пендикулярны друг другу.

Значит , гдеh₂– расстояние от точкиМдо мгновенной оси, до вектора.

Направлен вектор перпендикулярнои, т.е. так же как вектор нормального ускорения при вращении вокруг оси, или вектора. Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так:

(9.13)

Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений:

(9.14)

Этот результат называется теоремой Ривальса.

Заметим, что в общем случае векторы ине совпадают и угол междуине равен, векторы не перпендикулярны друг другу, как это было при вращении тела вокруг неподвижной оси.

Пример 9.3.Продолжим исследование движения диска (пример 9.2). Модуль угловой скоростиЗначит векторвместе с осью, которая всегда проходит через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг осии описывает конус. ТочкаМна конце векторадвижется по окружности радиусас угловой скоро­стью ω₀. Поэтому угловое ускорение диска.

Рис 9.12.

Разработал ст.преподаватель кафедры «Прикладная механика» Пинчук Э.В.