2. 2. Центр тяжести тел

На все точки тела, находящегося вблизи поверхности Земли, дей­ствуют силы – силы тяжести этих точек или их вес . Вообще эти силы будут сходящимися – линии действия их пересекаются в центре Земли. Но, если пренебречь размерами тела в сравнении с размерами Земли, то можно считать их параллельными.

Центр этих параллельных сил, сил тяжести точек, называется цен­тром тяжести тела.

Значит находить центр тяжести тел можно как центр параллельных сил, по формулам (6.1) или (6.2). Например, координаты его

(6.3)

где – вес каждой точки тела, а– вес всего тела.

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоско­сти.

Е

Рис. 6.3.

сли осих и у расположить в этой плоскости симметрии (рис. 6.3), то для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами. И координатапо (6.3), бу­дет равна нулю, т.к. в суммевсе члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симмет­рии, для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатамии координатыи, вычисленные по фор­мулам (6.3), окажутся равными нулю.

Аналогично доказывается и третья теорема.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тя­жести тела находится в этой точке.

И ещё несколько замечаний.

Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (6.3) – определять как вес соответствующей части и– как координаты её центра тяжести.

Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его , где- удельный вес материала, из которого сделано тело, аV_i - объём этой части тела. И формулы (6.3) примут более удобный вид. Например,

И аналогично, где- объём всего тела.

Пример 6.1. Определим центр тяжести однородного тела, изображён­ного на рис. 6.4.

Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

О

Рис. 6.4.

бъёмы их:. Поэтому координаты центра тяжести тела

Третье замечание.Если тело состоит из однородных пластин одинаковой, малой толщины, то объём каждой пластиныгде– площадь пластины,d– толщина. И координаты центра тяжести будут определятся только с по­мощью площадей:

где – координаты центра тяжести отдельных пластин;– общая площадь тела.

Пример 6.2.Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис. 6.5). Координаты центров тяжести:

Площади:

Поэтому:

Рис. 6.5.

Пример 6.3.У квадратного листасм вырезано квадратное отверстиесм (рис. 6.6). Найдем центр тяжести листа.

Вэтой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:

Рис. 6.6.

координата так как тело имеет ось симметрии (диагональ).

Четвёртое замечание.Если тело состоит из стержней, прямых или кри­волинейных, однородных и постоянного сечения, то вес ихгдеl_i – длина,– вес единицы длины (погонного метра), а координаты центра тяжести будут определяться с помощью длин отдельных участков:

где – координаты центра тяжести-того участка;

Пример 6.4. Проволочная скобка (рис. 6.7) состоит из трёх участков оди­наковой длиныl.

Координаты центров тяжести участ­ков: ,;,Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:

Рис. 6.7.

1. Трение

Трением называется сопротивление движению тела. Оно бывает нескольких видов: трения скольжения, качения, верчения, вязкое трение. Рассмотрим первые два.