4.2. Абсолютная и относительная производные от вектора.

Формула Бура

Рассмотрим переменный вектор , заданный в подвижной системе отсчета:, где,,– переменные проекции на подвижные оси координат;,,– векторы, переменные по направлению вследствие движения подвижной системы координат относительно неподвижной. Производную по времени от векторапо отношению к неподвижной системе отсчета называютполнойилиабсолютнойпроизводной и обозначают. Производную по времени при учете изменения вектораотносительно подвижной системы отсчета называютотносительнойилилокальнойпроизводной и обозначаютили. Установим зависимость между полной и относительной производными по времени от вектора.

.

Обозначим =– относительная производная вектора, учитывающая его изменение в подвижной системе координат.

Производные по времени от единичных векторов определим по формулам Пуассона:;;, где– вектор угловой скорости вращательной части движения подвижной системы отсчета.

Таким образом,

++– формула Бура, определяющая абсолютную производную переменного вектора, заданного в подвижной системе координат.

Рассмотрим частные случаи.

1. Если вектор не изменяется относительно подвижной системы координат, то его относительная производная= 0, а полная производная=.

2. Если вектор не изменяется относительно основной системы координат, то его полная производная= 0, а следовательно относительная производная= –.

3. Если вектор параллелен вектору угловой скорости, т.е.=k, то= 0 и=.

4.3. Сложение скоростей

4.4. Сложение ускорений

Рассмотрим абсолютную скорость точки, совершающей сложное движение:

.

Возьмем производную по времени от обоих частей этого выражения:

,

=– абсолютное ускорение точки;

=– ускорение точкиО(начало системы отсчета);

=– угловое ускорение подвижной системы отсчета.

==– по формуле Бура.

,

– относительное ускорение точки.

.

Обозначим – переносное ускорение точки,– ускорение Кориолиса (добавочное ускорение), тогда абсолютное ускорение

.

Согласно последнему выражению абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме переносного, относительного ускорения и ускорения Кориолиса.

Если относительное движение точки рассматривается в декартовой системе координат, то

,

где x,y,z– координаты точки в подвижной системе отсчета.

Если относительное движение задается естественным образом, то

,

где ,– дуговая координата в относительном движении;,– радиус кривизны траектории в относительном движении.

Если переносное движение является вращением твердого тела вокруг неподвижной оси, то переносное ускорение

,

тогда абсолютное ускорение

.

4.5. Ускорение Кориолиса

Ускорение Кориолиса определяется векторным произведением:

.

Модуль ускорения Кориолиса: . Направление ускорения определяется либо по правилу векторного произведения, либо по правилу Жуковского.

Правило Жуковского:

1. Спроецировать вектор относительной скорости точки на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения.

2. Полученную проекцию повернуть в этой же плоскости на 90º в сторону переносного вращения. Полученное направление и является направлением ускорения Кориолиса.