3.4. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры.

Мгновенный центр вращения. Центроиды

Теорема.Плоскую фигуру в своей плоскости из заданного положения в некоторое другое положение можно переместить одним поворотом вокруг точки плоскости, называемой центром конечного вращения.

Доказательство.

Рассмотрим плоскую фигуру (т.е. твердое тело, совершающее плоское движение). Пусть в начальном положении фигура характеризуется отрезком АB, а в конечном –А₁B₁. Рассмотрим случай, когдаАB иА₁B₁не параллельны.

Соединим точки АиА₁,BиB₁. Отметим середины этих отрезков и проведем в этих точках перпендикуляры к отрезкам. Точка пересечения перпендикуляров –Р. ТреугольникиABPиA₁B₁Pравны по трем сторонам:АР=А₁Р₁как гипотенузы в равных прямоугольных треугольникахАСРиА₁СР, так как по построению точкаС– середина отрезкаАА₁, аСР– общий катет треугольников; аналогично, рассматривая равные треугольникиBDPиB₁DP, получаемВР=В₁Р₁;АВ=А₁B₁по условию.

Для перевода плоской фигуры из начального положения в конечное достаточно совместить между собой равные треугольники ABPиA₁B₁P. Это можно осуществить одним поворотом треугольника ABP в его плоскости вокруг точкиР. Чтобы совместитьАсА₁нужно отрезок повернуть на, а чтобы совместитьВсВ₁нужно отрезок повернуть на, так как углы лежащие против равных в треугольниках сторон равны ABPиA₁B₁P.

В том случае, когда отрезки АB иА₁B₁, плоскую фигуру из начального положения в конечное можно перевести поступательным перемещением, что соответствует повороту фигуры вокруг бесконечно удаленной точки.

Для двух бесконечно близких положений плоской фигуры центр конечного вращения называется мгновенным центром вращения. Плоское движения твердого тела можно представить как бесконечную последовательность поворотов тела вокруг соответствующих мгновенных центров вращения.

Геометрическое место мгновенных центров вращения, построенное на неподвижной плоскости, называется неподвижной центроидой. Геометрическое место мгновенных центров вращения плоской фигуры, построенное в подвижной плоскости, жестко связанной с фигурой, называется подвижной центроидой.

В каждый момент времени подвижная центроида касается неподвижной центроиды в мгновенном центре вращения. В каждый момент времени скорость мгновенного центра вращения равна нулю, т.е. вокруг этой точки происходит мгновенный поворот и она является мгновенным центром скоростей. Таким образом, плоское движение можно представить как качение без скольжения подвижной центроиды по неподвижной.

4. Сложное движение точки

4.1. Основные понятия сложного движения точки

Рассмотрим точку М, которая совершает движение относительно подвижной системы отсчета Оxyz. Эта система отсчета в свою очередь движется относительно неподвижной системыОx₁y₁z₁. Движение точки по отношению к неподвижной системе называется относительным. Движение подвижной системыОxyzпо отношению к неподвижнойОx₁y₁z₁называется для точкиМпереносным движением. Скоростьи ускорениеточки по отношению к подвижной системе отсчета называются относительными. Скоростьи ускорениеточки подвижного пространства, жестко связанного с подвижной системой отсчета, с которой в данный момент времени совпадает точкаМ, называется переносной скоростью и переносным ускорением. Скоростьи ускорениеточки по отношению к неподвижной системе отсчета называется абсолютными.