3. Плоское движение твердого тела

1. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное. Уравнения плоского движения твердого тела

Плоским (плоскопараллельным) движением твердого тела называется такое движение тела, при котором все его точки движутся в плоскостях параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Плоское движение твердого тела можно разложить на поступательное движение тела вместе с некоторой точкой тела (полюсом) и вращение вокруг оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости движения.

Число степеней свободы при плоском движении равно трем. Выберем точку А тела – полюс. Две координаты зададут перемещение полюса, а третья – угол поворота – вращение вокруг полюса:

,,.

Последние выражения называются уравнениями плоского движения твердого тела.

3.2. Скорости точек тела при плоском движении.

Мгновенный центр скоростей

Рассмотрим точки АиВтвердого тела, совершающего плоское движение. Радиус вектор точкиВ,, так как это расстояние между двумя точками в твердом теле. Продифференцируем обе части этого равенства:или. Дляприменим формулу производной от вектора, имеющего постоянный модуль:

– скорость точкиВпри вращении тела вокруг полюсаА. Тогда,или, где– вектор угловой скорости тела, он направлен по оси, проходящей через точкуАперпендикулярно к плоскости движения. Модуль– так какАВлежит в плоскости, аперпендикулярна плоскости.

Мгновенным центром скоростей тела при плоском движении называется точка тела или подвижной плоскости, жестко связанной с телом, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Покажем, что если в данный момент времени угловая скорость тела , то мгновенный центр скоростей существует. Рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в плоскости чертежа,, скорость точкиА–. Проведем перпендикуляр вАк скоростии отложим на нем отрезок. Покажем, чтоР– мгновенный центр скоростей, т.е..

Скорость точки Р,, т.е., следовательно, а значитР– мгновенный центр скоростей.

Пусть теперь тело совершает плоское движение и известно положение мгновенного центра скоростей Р. Определим вначале скорость точкиА:,; скорость точкиВ:; тогда. Следовательно скорости точек тела при плоском движении относятся как их расстояния до мгновенного центра скоростей.

Рассмотрим способы нахождения мгновенного центра скоростей.

3.3. Ускорение точек тела при плоском движении.

Мгновенный центр ускорений

Рассмотрим точки АиВтвердого тела, совершающего плоское движение. Скорость точкиВ. Продифференцируем обе части этого равенства:. Обозначим,,– угловое ускорение,– скорость точкиВотносительно полюсаА,. Введем обозначения:– касательное (вращательное) ускорение точкиВ, при вращении тела вокруг полюсаА,– вектор углового ускорения, направленный перпендикулярно к плоскости движения;– нормальное ускорение точкиBпри вращении тела вокруг полюсаА. С учетом этих обозначений выражение для ускорения записывается следующим образом:. Таким образом, ускорение любой точки тела при плоском движении равно геометрической сумме ускорения какой-либо другой точки тела (полюса) и ускорения точки тела при его вращении вокруг полюса. Если обозначить, то,,,.

Мгновенным центром ускорений тела при плоском движении называется точка тела или подвижной плоскости, жестко связанной с телом, ускорение которой в данный момент времени равна нулю.

Покажем, что если в данный момент времени и, то мгновенный центр ускорений существует. Рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в плоскости чертежа,,ускорение точкиА–. Проведем в точкеАлуч под угломк ускорениюи отложим на нем отрезок. Покажем, чтоQ– мгновенный центр ускорений, т.е..

Ускорение точки Q,,,,, следовательно, а значитQ– мгновенный центр ускорений. Тогда,,.

Рассмотрим способы определения углового ускорения тела при плоском движении.

1. Если известен угол поворота , то.

2. Проецируя векторное уравнение на ось, перпендикулярную ускорению точкиВ(при известных, направлении и величине, направлении вектора), получаем уравнение из которого определяеми тогда.