1.2. Способы изучения движения точки

Существуют три способа изучения движения точки: векторный, координатный и естественный.

1. Векторный способ.

Положение точки в пространстве определяется ее радиус-вектором , проведенным из некоторого неподвижного центра. При измененииt изменяется и, который опишет в пространстве кривую, являющуюся траекторией движения точки. Выражениеназывается уравнением движения точки в векторной форме.

Скорость точки , ускорение.

2. Координатный способ.

Положение точки в любой момент времени будем определять координатой точки в системе координат: ,,. Эти выражения называются уравнениями движения точки в координатной форме. Уравнение траектории точки получается из уравнений движения исключением из них времениtкак параметра.

Радиус вектор точки .

Скорость точки

, где,,– проекции векторана оси координат;

;

,,;

.

Направляющие косинусы:

,,.

Ускорение точки

, где,,– проекции векторана оси координат;

;

,,;

.

Направляющие косинусы:

,,.

Если движение осуществляется в плоскости, например, (x,y), то. Для линейного движенияи.

3. Естественный способ.

При естественном способе изучения движения сразу задается траектория движения точки как некоторая кривая. На этой кривой задается начало отсчета дуговой координаты Ои направление положительного отсчета. Дуговая координата – это расстояние от начала отсчета, измеренное по траекторииs=s(t) – уравнение движения точки в естественной форме.

Если ввести в рассмотрение декартовую систему координат, то можно записать:

;

;;.

– формула перехода от уравнений движения точки в

координатной форме к уравнению движения в естественной форме.

Введем в рассмотрение неподвижную точку О₁. Скорость точки

,

где ds– приращение дуговой координатыsза бесконечно малый промежуток времениdt.

;;;,

где – единичный вектор, направленный по касательной к траектории в положительном направлении. Тогда

,

где – алгебраическая скорость, равная проекции скорости на единичный вектор.

1.3. Естественный трехгранник

Проведем касательные к траектории в двух положениях точки МиМ₁. Угол между касательными – угол смежности траектории в точкеМ.Кривизной траекториив данной точке называется величина

.

Радиусом кривизны траектории в данной точке называется величина . Для окружности, когда, то.

Проведем плоскость через прямые МτиМ₁τ₁.Соприкасающейся плоскостьютраектории в данной точкеМназывается плоскость, проходящая через точку М и прямыеМτиМ₁τ₁в ее предельном положении при неограниченном стремлении точкиМ₁кМ.

Рассмотрим точку Мна траектории, имеющую дуговую координатуs.Нормальной плоскостьюназывается плоскость, проходящая через точкуМперпендикулярно касательнойМτ. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей называется главной нормалью траектории в точкеМ. Главная нормальМn– прямая, лежащая в соприкасающейся плоскости,– единичный вектор.

Спрямляющей плоскостьюназывается плоскость, проходящая через точкуМперпендикулярно главной нормали. Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей называется бинормалью траектории в точкеМ, т.е.Мb– бинормаль. Бинормаль вводится так, чтобы вектораобразовывали правую систему.

Касательную, нормальную и бинормальную оси называют естественными осями. Трехгранник образованный естественными осями называется естественным трехгранником.