Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский государственный университет геосистем и технологий

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Математика.Павловская О.Г., Плюснина Е.С

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Кривая называется вогнутой (обращена выпуклостью вниз) на интервале

(a, b), если все точки кривой расположены выше любой ее касательной на этом интервале.

Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой,

называется точкой перегиба.

Теорема 1 (признаки выпуклости графика функции).

Если	f	(x)	0	в интервале (a,	b),	то график функции на этом интервале
вогнутый.
Если	f	(x)	0	в интервале (a,	b),	то график функции на этом интервале

выпуклый.

Теорема 2 (достаточное условие существования точки перегиба).

Если вторая производная f (x) при переходе через точку х0,	в которой она
равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика x0 , f	x0 является

точкой перегиба.

При исследовании функции также следует учитывать точки, где вторая производная не существует.

1.3.5. План общего исследования функции

Исследование функции можно проводить по следующему плану.

1.Область определения функции.

2.Четность, нечетность, периодичность функции.

3.Непрерывность функции.

4.Асимптоты.

5.Нули функции и интервалы знакопостоянства.

6.Интервалы монотонности и экстремумы.

7.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

8.Построение графика.

9.Область значений функции.

1.3.6.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция y f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда она достигает

своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принимать либо во внутренней точке х0 отрезка [a, b], либо на границах отрезка,

т. е. при х0 = а или х0 = b.

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке [a, b]:

1)найти критические точки функции на интервале (a, b);

2)вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = b;

3)среди вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее значения функция на отрезке [a, b].

2. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ 2.1. Указания к оформлению типового расчета

Типовой расчет состоит из 5 задач, для каждой из которых разработано 30 вариантов. Номер варианта, сроки выполнения задания в целом и каждой задачи в отдельности, а также срок защиты устанавливаются для студента преподавателем, ведущим в группе практические занятия по математике.

Расчетно-пояснительный текст работы выполняется на отдельных листах формата А4 черной или синей пастой с полями шириной 2 см. По окончании работы листы брошюруются.

В центре титульного листа должна быть помещена надпись следующего содержания:

Типовой расчет Приложения дифференциального исчисления

функции одной переменной студента группы ________

Фамилия, имя, отчество 20___ – 20___ учебный год

В конце расчетно-пояснительной части указывается список используемой литературы, дата окончания работы и подпись студента.

Рассмотрение каждой задачи начинается с новой страницы. Задачи располагаются в порядке следования номеров. Решению задачи должно предшествовать условие, которое формулируется не в том общем виде, как в задании, а уже применительно к варианту, по которому работает студент.

Все математические преобразования должны быть достаточно подробными и сопровождаться краткими пояснениями, записи – аккуратными и грамотными.

При выполнении чертежей должны быть использованы необходимые чертежные инструменты и принадлежности. Оси системы координат, графики функций вычерчиваются сплошной линией. Все другие вспомогательные линии наносятся на чертеж пунктиром.

Студенту, приступающему к выполнению задания, полезно ознакомиться с образцом решения задач.

При защите работы студент должен уметь отвечать на теоретические вопросы и пояснять приведенные им решения задач.

При невыполнении требований по оформлению работы преподаватель вправе отказать студенту в приеме работы на проверку и потребовать правильного оформления работы!

2.2. Типовые задания

Задача № 1. Найдите производную y

данных функций:

Вариант

y = f (x)

а)

1 3 ;

б)

;

в)

x arcsin

x ;

t 2

г)

x 5 / x ;

д)

cos y

sin x

0 ;

е)

t 2

arctg t

6x 2

3x ln

x ;

а)

6 3

2x 4 ;

б)

arcctg 4 1

3x ; в)

sin 6x x2 ;

e x y2

cos2t

г)

д)

; е)

sin 2t

x 2

arctg

а)

x 2

1 ;

б)

arcsin x

;

в)

;

г) y

tg x3

;

д) sin x

cos

cos y

0 ;

е)

ln t

2cos2 x ;

а)

;

б)

arc ctg 3 x ;

в)

tgx

e 4x ;

arcsin t

3y 2

г)

д)

cos y

0 ;

е)

t 2

Вариант

y = f (x)

tg 2x

а)

; б)

cos3

; в) y

;

tg 2x

e2t

г) y

; д) y ex

x e

y 0 ; е)

arctg e

2 3 ;

7 tg 5

1 x2

а)

б) y

x ; в) y

arccos x ;

arctg t 2

г)

x ;

д)

x cos 2x

0 ,

е)

t 4

а)

;

б)

cos 7x

в)

sin ln 4

;

cos 7x ;

г)

ctg x x ;

д)

ln x

2 ln y

x y

е)

sin t

3 1

ln8 x ; в)

e x arcsin x ;

а)

x ;

б)

cos2t

sin x tg 2x ;

д) 2 x y

cos x y 2

г)

0 ;

е)

cos t

sin 2t

9 ctg34x ;

а)

; б) y

arccos x 2

;

в)

tg t

г)

arctg x cos x ;

д)

ln y

ln x

0 ;

е)

sin 2t

sin2t

а)

x 2

; б)

ctg 1

;

в)

arcsin

ln x

;

x 2

tg t

г) y x3 x ; д) x2

2xy y3

0 ; е)

sin 2t

ctg x

32x ln3 x ;

а)

4 x4 2

;

б)

;

в)

ctg x

2 3

г)

cos 2x x ;

д)

cos 2 y

y sin 3 x

0 ;

е)

arcsin

1 t 2

arccost

Вариант

y = f (x)

sin 4

3 3

x 2

а) y

2x; б) y

ln x ; в)

x arcsin x ;

3 2

г) y x2x

; д) x2

y 2

e x y

0 ; е)

ln t

ln2t

tg 2 x

а)

;

б)

tg 2 x; в) y

2arctg e

4 x3

3x 2

;

г)

sin x x

;

д)

cos y 2

sin 3x

0 ;

е)

ln sin t

cost

4 x 4

а) y

4 2

2x3 ; б) y

cos2 3x

2 3 ; в)

x 4 arcsin x 2 ;

4 2

2x3

г) y 1 x 2

; д) x 2

y 2

e x

; е)

ctg et

ln tg et

5 4

x ln 4 1 5x

arccos

а)

1 x

3 ; б)

y 5

; в)

;

г) y

x ;

д) sin х

cos x

x3 cos y

0 ,

е)

e2t

xctg

arctg et

x 2

x2 ln 1 4x

arcctg

2 6

а)

; б)

y e

; в)

x ;

cost

г)

x tg x ;

д) e 2x

cos y

y sin x

0 ;

е)

sin

4 t

x 2

ln 4 ctg 1

а)

;

б)

;

в)

arccos

x ;

x 2

arc tg et / 2

г) y

sin x cos x ;

д)

x cos y

2x 4

3y 2

е)

Вариант

y = f (x)

tg 5 x

а)

;

б)

cos 3 8 x

x8 ;

в)

arccos 5x ;

ln 1

t 2

г) y x 1 x (x 1) ; д) x4 e y

y 2 e x

2 y 0 ; е)

arcsin t

2 x

2x2

arctg ln

2x ;

а)

;

б)

в)

ctg 4x

;

2x2

1 3

t 2 ;

г)

sin x

x ;

д)

x 3

y 3

sin

x 2

0 ;

е)

arcsin

1 .

cos2 x

;

ln 5 x3 ;

а) y

x 3

;

б)

в)

x 2

cos 2x

г)

ctg x 1/ x ;

д) ln 2

2 ln y 2

x 4

0 ;

е)

t 2

x 2

ecos 2 x

x 3 ;

4 x

а) y

1 ;

б)

arcsin

ln x ;

в)

tg 4x sin x ;

2 x

cos2

г)

д)

0 ; е)

t 2

x 2

sin3 4x 2

а)

;

б) y

arccos

3 ;

в)

;

x 2

г)

arctg x sin 2x ;

д)

x 2

ln y

ln 2 x

0 ;

е)

cost

3 1

x 2

а)

2 ;

б)

sin

1 ;

в)

ctg

x ;

1 e3x ;

д) x 2

y 2

cos x3

arccos

г)

0 ;

е)

t 2

Вариант

y = f (x)

а)

;

б)

x 2

arctg 2x

ln 4

tgx ;

в)

2cos

;

г)

2x sin 2x ;

д)

cos y

3y 3

0 ;

е)

t 2

ln t 2

а)

x 2

;

б)

;

в)

cos

x ;

sin2t

г)

arcsin x

1 x2 ;

д)

x 4

e y

x 2

y 3

0 ;

е)

cost

sin2t

e tg

3x 2

x 4

а)

;

б)

arcctg2x ;

в)

3 ;

5 x 3

2x 3

sin t

cost

г)

;

д)

cos x

0 ;

е)

sin t

cost

sin 2x

ln 3 7x

а)

; б)

;

в)

;

x 4

sin 2 x

x4 ;

г)

cos x

д)

ln3 x

ln y 4

x 4

0 ;

е)

3 x

arccos 2

8 x tg x ;

а)

4 x

1 ;

б) y

ln 3x ;

в)

x 2

sin x

sin 2t;

г) y

;

д)

2 x y

cos3 x

0 ; е)

x 1

cos 2 t

x 4

2 x

cos3

3x 2

а)

; б)

ctg

; в) y

;

x 4

arccos t 1

arctg x 1

x2 ; д)

ln y2

y ln2 x

г) y

0; е)

t 2

а)

5 1

x 2

; б)

e x3

tg 2

1 ;

в)

sin 5

;

x 2

arcsin 1

t 2

г)

cos 2x

x ;

д)

2x 4

e x

0 ;

е)

t 2

ln 1

Задача № 2. Составьте формулу Тейлора для данной функции y = f (x) в точке х = а с остаточным членом в форме Лагранжа.

Вариант

y = f (x)

Вариант

y = f (x)

1	1									4	16				1							–1

																	x3
							x
							x
2	1									–1	17	lg 1									x	0

		2x						1
		2x						1
3				ln x						1	18	3										7
3				ln x						1	18	3				x				8		7

4					3					2	19	1								1		1
						x		1

																		4 x
																		4 x
5	1									2	20				1							–3
						x2
															x					1
															x					1
6										1	21	ln 2x 1										0
6				3x 2						1	21	ln 2x 1										0


7					lg x					10	22								x			2

															2
															2
8	4									1	23											4
8	4				2				x	1	23		x								x	4

9	1									0	24				1							0


				x				2					3 x							1
				x				2					3 x							1
10										1	25	x log2 x										2
10						x		3		1	25	x log2 x										2
11	ln x							10		–9	26	4										0
11	ln x							10		–9	26	4			1					3х		0

12			x					1		–1	27				1							–1


								x						x 3 x
								x						x 3 x

13	1		–8	28	ln 3 2x	1

	3

		x

	x ln x	1			1		3
14			29
14			29	x	2 2
				x	2 2
15		0	30				4
15	1 x	0	30	x		x	4

Задача № 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на отрезке [a, b].

Вариант		y = f (x)			[a, b]	Вариант	y = f (x)		[a, b]
1	y	6		x	[–5, 5]	16	y x сos2 x	3		, 2
			x 2
				13				2

2		y = 0,5x + cos x								0,					17		y				х		3 2						[– 3, 7]
2		y = 0,5x + cos x								0,					17		y			x2			7						[– 3, 7]
																				x2			7
		y					10x										2 cos2 x													,
3							10x			[0, 3]					18	y									х			2

						x2
									1																				2
									1																				2
										3						y		x					4

4		y = 0,5x – sin x								2 , 2					19							x 2 2							[–1, 4]
4		y = 0,5x – sin x								2 , 2					19							x 2 2							[–1, 4]
									4 2
5		y			х				4 2	[–4, 6]					20	y		3			x		sin			2		x	,
5						x			9	[–4, 6]					20			2											,
						x			9									2
												,								х			6 2
6	y	х	3						cos 2x						21		y			х			6 2						[–1, 7]
6	y	х	3						cos 2x						21		y				x		13						[–1, 7]
																					x		13
		y						4x
7								4x		[–5, 1]					22	y x 4 x 2													[–2, 5]

					x2				4
					x2				4
										2π,				3π							х		3 2
8	y	х	3						sin 2x					3π	23		y				х		3 2						[–5, 5]
												2
																					x		16


						x			4
		y				x			4									3									2
																		3
9					x2					[–4, 6]					24	y					x		cos					x	2 ,
									9									2
									9									2
											3		, 0					16						x3
10	y	x	2						2cos x		3				25		y	16						x3					[–1, 3]
										2
																				x			3


11		y			х				4 2	[3, 6]					26		y	4				x	4						[1, 4]
																									x2
					x 2				9
					x 2				9
										0,		3					y				x		3
12	y	x	2						2sin x						27						x		3						[–3, 7]

												2								x 2			7
												2								x 2			7
					х				6 2
13		y			х				6 2	[–5, 5]					28	y	2		x		1				х			2	[1, 5]
13		y		x 2					13	[–5, 5]					28	y	2		x		1				х			2	[1, 5]
				x 2					13

y x

sin 2 x

[0, 4]

[1, 5]

[–1, 4]

Задача № 4. Проведите полное исследование функций y = f1(x), y = f2(x) и y

= f3(x). Постройте график.

Вариант

y = f1(x)

y = f2(x)

y = f3(x)

2arctg x

5x 2

1)2

1)3

y x3

11x 2

39x 45

e 3

2x 2

x 3

y x e x

y x3

7x 2

15x 9

3x 2

arctg x

x 2

x 3

y x2 e x

y x3

9x 2

24x 20

x 2

ln x

y x3

x 2

16x 20

1)3

2 4x 2

y e2x x2

y x3

7x2

8x 4

x 2

y x

3x 9

y (x 1)2 e x 1

x2 3x 4

2 arctg x x

11x2

39x

x 2

y ln (x2

y x3

3x 2

9x 5

3x 2

y (x 2) e3 x

y x3

8x 2

21x 8

e x

y x3

4x 2

5x 2

x 2

y x3

7x 2

16x 12

x e

ln(x2

9x 2

24x

4(x

Вариант

y = f1(x)

y = f2(x)

y = f3(x)

y x2

2ln x

y x3

3x 2

9x 5

2x2

e x

15x

4x2

ln(9

x2 )

x 2

21x

arctg x

8x 2

1)3

(x 1)2

y ln 1 x

y x

5x 3

(x 1)

y x3

x 2

8x 12

ln x

arctg x2

21x

e x

4(x

y (x 1) ln2 (x 1)

y x3

5x2

3x 9

x 4

y (2 x2 ) e x2

y x3

7x2

8x 10

y x3

4x 2

3x 18

e x

x 2

y (x 1) e

3x 1

y x

16x 12

e x

y x3

5x 2

7x 3

4(1

arctg x

5x2

y x

16x 20

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
27.03.201664.39 Кб40matematikac.docx
#
27.03.20165.73 Mб24Math.pdf
#
27.03.20161.53 Mб36otvety_matematika.docx
#
27.03.20162.69 Mб55Математика.Павловская О.Г., Плюснина Е.С.pdf