Операции над событиями

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

A + B = A или B.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

A  B = A и B.

События называются совместными в совокупности, если каждое из них и произведение остальных являются совместными событиями.

Классическая формула вероятности

Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.

Пусть имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных событий. ВероятностьP(A) наступления события A вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания. Если N – число исходов испытания, M – число исходов, благоприятствующих событию A, то

.

Например: при N = 6, M = 1 вероятность выпадения одной из граней кубика P = 1/6.

Вероятность достоверного события равна 1.

Статистическая и геометрическая вероятности

Для нахождения вероятности по классической формуле вероятности необходимо, чтобы опыт сводился к схеме случаев. То есть среди всех возможных событий, появляющихся в результате данного опыта, можно выделить полную группу попарно несовместных и равновозможных событий. На практике такую группу бывает сложно выделить. Кроме того, бывает сложно обосновать равновозможность событий.

Под относительной частотой появления события понимается отношение m/n, где n – число опытов, m – число появления события (табл. 1.1). При достаточно большом числе испытаний относительную частоту называют статистической вероятностью:

.

Т а б л и ц а 1.1

Опыт	Число испы- таний n	«Орел» («герб») выпал m раз	Относительная частота появления
			«орла»	«решки»
Дж. Керриха	10 х 1 000	502, 497, 511, 529, 504, 476, 507, 528, 504, 529
	10 000	5 087	0,5087	0,4913
Бюффона	4 040	2 048	0,5069	0,4931
Первый Пирсона	12 000	6 019	0,5016	0,4984
Второй Пирсона	24 000	12 012	0,5005	0,4995

Пусть на плоскости имеется некоторая фигу- ра F, которая содержит фигуру f (рис. 1.2). На фигуру F наугад бросается точка. Вероятность попадания точки на фигуру f равна отношению площади фигуры f к площади фигуры F. По аналогии с понятием благоприятствующего исхода фигуру f будем называть благоприятствующей появлению события. Геометрическая фигура может быть не только двумерной, но и одномерной и трехмерной.

Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события, к мере всей области.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность появления одного из двух н е с о в м е - с т н ы х событий равна сумме вероятностей этих событий:P(A+B) = P(A) + P(B).

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

.

С л е д с т в и я. Сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих полную группу, равна 1. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Аналогично P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(BC) – – P(AC) + P(ABC).

П р и м е р. Аппарат состоит из 5 блоков. Вероятности выхода из строя каждого из них – 0.01, 0.01, 0.01, 0.02, 0.1. Предполагается, что в один и тот же момент времени не может выйти из строя больше одного блока, т.е. выход из строя одного блока исключает выход из строя любого другого. Выход из строя любого блока приводит к выходу из строя аппарата в целом. Определить вероятность выхода из строя аппарата.

Р е ш е н и е. События несовместны. Вероятность появления хотя бы одного из них есть сумма вероятностей. P = 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.02 + 0.1 = = 0.15, т.е. вероятность выхода из строя аппарата в целом БОЛЬШЕ самой большой вероятности выхода из строя отдельных элементов.

Условной вероятностью P_A(B) или P(B|A) называется вероятность события B, вычисленная в предположении, что событие A уже произошло.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB) = P(A)  P(B|A).

Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого: P(A) = P(A|B), или P(B) = P(B|A)

Вероятность совместного появления двух н е з а в и с и м ы х событий равна произведению их вероятностей: P(AB) = P(A)  P(B). И наоборот, если вероятность совместного появления двух событий равна произведению их вероятностей, эти события независимые.

События называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если наряду с их попарной независимостью независимы любое из них и произведение любого числа из остальных. В противном случае события называются зависимыми.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: P(A₁ A₂ … A_n) = P(A₁) P(A₂) … P(A_n).

П р и м е р. Аппарат состоит из пяти блоков. Вероятности безотказной работы каждого из них – 0.99, 0.99, 0.99, 0.98, 0.9. Выход из строя любого из них не зависит от выхода из строя других блоков. Безотказная работа аппарата в целом возможна, только когда все блоки исправны. Определить вероятность безотказной работы аппарата.

Р е ш е н и е. Вероятность совместного появления независимых событий «безотказная работа блока» есть произведение вероятностей их появления. Р = 0.99  0.99  0.99  0.98  0.9  0.856, т.е. вероятность безотказной работы аппарата в целом МЕНЬШЕ самой малой вероятности безотказной работы отдельных элементов.