6.2. Система сходящихся сил

Систему сил называют сходящейся, если линии их действия пересекаются в одной точке.

Теорема: система сходящихся силэквивалентна ()одной силе, называемой равнодействующей, которая равна геометрической сумме всех сил системы и проходит через точку пересечения линий их действия

,

Силовым многоугольникомсистемы сходящихся сил называют многоугольник, построенный на ее векторах (силах). Построение многоугольника можно осуществить в произвольном порядке так, чтобы конец одного вектора являлся началом другого, переносимого параллельно его линии действия. Вектор, замыкающий силовой многоугольник, начало и конец которого совпадают соответственно с началом первого и концом последнего векторов системы,является геометрической суммой этой системы сил.

Зачастую величину и направление равнодействующей удобнее определять аналитически. Так, если за систему отсчета принять прямолинейные ортогональные оси координат Oxyz, то, в частности, задачу о сложении сил можно решить с помощью следующих соотношений

,

,

где - проекциисоответственно на осиx,y,z;l,m,n- направляющие косинусы.

Существуют геометрическая и аналитическая формы условий равновесия системы сходящихся сил:

- (геометрическая) для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы ее силовой многоугольник был замкнут;

- (аналитическая) для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно равенства нулю сумм проекций всех сил системы на оси координат

В практических приложениях весьма полезным может оказаться утверждение следующей теоремы (теорема о трех силах): если свободное тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, то эти силы расположены в одной плоскости и линии их действия пересекаются в одной точке. Так, например, для конструкции, изображенной на рис. 1, требуется определить, какие усилия возникают в ее элементах под действием силы тяжести грузаG, если АВ - абсолютно гибкая нить и собственным весом стержня ВС можно пренебречь.

Строим силовую схему рассматриваемой конструкции (рис.2). Реакция закрепления нити в точке А направлена по ее оси. Линии действия ипересекаются в точке В, а поскольку система находится в равновесии, то на основании теоремы о трех силах можно заключить, что линия действия реакциив шарнирно-неподвижной опоре С направлена по оси СВ.

Любая часть конструкции, находящейся в равновесии, также находится в равновесии, что позволяет рассмотреть равновесие узла В (рис.3). Действие отброшенной части на рассматриваемую, согласно аксиоме о действии и противодействии, заменим усилиями , которые и являются искомыми по условию задачи. ОпределениеN_AB,N_CBуже можно проводить как аналитически с помощью условий равновесия

так и графически, путем построения силового многоугольника, который в масштабе в 1 см 2 Н изображен на рисунке. Знак минус при найденном значенииN_CB указывает на то, что истинное направлениепротивоположно показанному на рис.3, т.е. стержень СВ сжат.