6.4.Расчет ферм

Фермой называют стержневую систему, которая остается геометрически неизменяемой после условной замены в расчетной схеме жестких узлов шарнирами. Будем рассматривать лишь плоские фермы, у которых все стержни находятся в одной плоскости. Узлы - места соединения стержней фермы. Внешние нагрузки прикладывают в узлах фермы, поэтому каждый из ее стержней испытывает лишь растяжение или сжатие, т.е. находится под действием равных по величине и противоположно направленных осевых усилий.

Будем предполагать, что все силы, действующие на ферму, расположены в ее плоскости. Усилия в стержнях определяют согласно методу сечения, исходя при этом из следующих соображений: поскольку вся ферма под действием внешних сил и реакций опор находится в равновесии, то в равновесии находятся и ее части. В зависимости от вида этих частей различают следующие методы определения усилий:

а). Метод вырезания узлов. Усилия, действующие на узел, представляют собой плоскую систему сходящихся сил, и, следовательно, для определения неизвестных в нашем распоряжении лишь два условия равновесия, то есть;

б). Метод Риттерапредполагает рассмотрение равновесия любой из двух частей фермы, полученных в результате ее сечения. Необходимость удовлетворения трем условиям равновесия рассматриваемой плоской системы сил обусловливает требование попадания в разрез не более трех стержней с неизвестными усилиями. Если линии действия двух из трех неизвестных усилий имеют точку пересечения, то можно записать условие равенства нулю моментов сил, действующих на рассматриваемую часть фермы, относительно этой точки, которую называют «моментной». В результате получим уравнение с одним неизвестным, что, естественно, удобно.

Преимущество метода Риттера по сравнению с методом вырезания узлов в том, что усилие в любом стержне можно определить независимо от ранее найденных значений усилий в других стержнях и, следовательно, не происходит накопления ошибок вычислений.

В качестве примера приложения метода сечений определим усилия в стержнях АВ, ВД, ДС фермы, изображенной на рис.а. Рассмотрим сечение 1-1. Равновесие правой части фермы (рис.б) позволяет записать следующие три условия равенства нулю моментов относительно «моментных» точек:

.

При определенииN_AB,N_ВДоказалось удобным воспользоваться теоремой Вариньона. Так, например,

.

Поскольку при проектировании фермы важно знать растянут или сжат тот или иной стержень, рекомендуем в силовых схемах частей фермы усилия изображать так, чтобы они вызывали растяжение стержня. Если численный результат определения усилия окажется отрицательным, то это означает, что соответствующий стержень сжат, в противном случае - растянут.

Пример-2определения усилий в стержнях фермы

Исходные данные:d=3м,h=6м,F₁=5кH,F₂=3кH,F₃=8кH.

1. Определение опорных реакций

Из условий равновесия фермы

,

,

,

находим

Проверка:.

2. Определение усилий в стержнях фермы

Рассмотрим условия равновесия узла А:

, (1). (2)

Так как

,

из (1), (2) следует

Уравнения равновесия левой от сечения I-I части фермы

имеют вид , (3)

, (4)

, (5)

где

,,,

Из (3)-(5) находим

Узел Д

(6)

. (7)

Из (6) (проверка)

Из (7)

Правая от сечения II-II часть фермы

(8)(9)(10)

Из (8)-(10) получим

Узел К

(11)

Узел Q

, (12) , (13)

Из (12), (13) находим

Узел В

, (13), (14)

Из (14) следует

а из (13) находим .

Узел Р, (15). (16)

Из (15) следует (проверка),

а из (16) - .

Пример-3определения усилий в стержнях фермы

Узел А:

Сечение1-1:

– плечо усилияN₃относительно т. О₁

(стержень сжат);

– плечо

усилия N₄относительно т. О₂.

Сечение 2-2:

(стержень растянут);

Сечение 3-3:

(стержень сжат);

– плечо усилияN₇относительно точки О₁.

(стержень растянут);

– плечо

усилия N₈относительно точки О₄.

Усилие N₉ можно определить аналогично определенияN₅, для чего можно воспользоваться «косым» сечением вида 2–2 и в качестве моментной точки принять т.O₁.

Сечение 4-4:

(стержень сжат);

(стержень сжат);

Можно было бы рассматривать равновесие и левых отсеченных частей фермы, но для этого необходимо предварительно определить реакции опор.