дач — это стремление учитывать все дополнительные ограничения на исходные данные, которые упрощают задачу, т. е. рассматривать разрешимые частные случаи исходных проблем. Так, в нашем примере веса ребер были произвольными неотрицательными числами. Если же потребовать, чтобы веса удовлетворяли дополнительно неравенству треугольника (что естественно для длин путей), то получим так называемую метрическую задачу коммивояжера. Она все еще остается NP-трудной, но для нее уже удается построить эффективные алгоритмы, гарантирующие нахождение решения, отличающегося от оптимума не более чем в константу раз (с константой 3/2 — см. раздел 2.1.4). Кстати, важную роль в разработке приближенных алгоритмов для метрической задачи коммивояжера играет использование сходной, но эффективно решаемой задачи о минимальном остовном дереве.

Несколько забегая вперед, можно сказать, что в классе APX задач, разрешимых полиномиальными алгоритмами с константной мультипликативной ошибкой, имеется класс APX-полных задач, для которых существование эффективного алгоритма нахождения решений с любой наперед заданной точностью (с мультипликативной ошибкой, не превосходящей 1+") представляется крайне маловероятным (см. раз-

дел 6.3.7).

1.1.4«Сортировка слиянием»

Рассмотрим довольно простые задачи сортировки или упорядочивания, алгоритмы для которых имеют не более чем квадратичную сложность.

На примере этих задач мы изложим некоторые общие приемы построения и анализа эффективных алгоритмов, такие, как «разделяй и властвуй», анализ сложности в среднем вместо худшего случая, использование вероятностных алгоритмов вместо детерминированных.

Задача 9. «Сортировка» (Sor ng)

Имеется произвольный массив A : a1; : : : ; an.

Tребуется путем сравнений отсортировать этот массив таким образом, чтобы элементы расположились в порядке возрастания (или убывания), то есть ai1 ai2 : : : ain.

Слияние — это объединение двух или более упорядоченных массивов в один упорядоченный. Пусть требуется упорядочить массив по убыванию. Для этого сравниваются два наименьших элемента обоих массивов, и наименьший из них выводится как наименьший элемент суммарного массива, затем процедура повторяется (см. процедуру «merge» в алгоритме 10 «Mergesort»). Нетрудно видеть, что слияние двух упорядоченных последовательностей A и B длин jAj и jBj происходит за O(jAj + jBj) сравнений.

Упражнение 1.1.6. Найдите такие упорядоченные последовательности A и B (без ограничения их длины), на которых процедура «merge» в алгоритме 10 «Mergesort» выполнит jAj + 1 сравнений.

Упражнение 1.1.7. Найдите такие упорядоченные последовательности A и B, на которых процедура «merge» в алгоритме 10 «Mergesort» выполнит jAj + jBj 1 сравнений.

Рассмотрим сортировку слиянием (алгоритм 10 «Mergesort»). Исходный массив A длины n делится пополам. Затем производится рекурсивная сортировка каждой половинки и их слияние. Пусть T (n) — число сравнений, достаточное для сортировки слиянием.

Можем записать рекуррентное соотношение:

T (n) = 2T (n/2) + O(n):

Чтобы решить это уравнение, применим метод подстановки, и просто проверим, что T (n) = cn log2 n является решением при подходящей константе c.

Алгоритм 10 Сортировка слиянием

def partition(A, L, H, pivot):

#Перестановка в интервале [$L$ \ldots $H$) массива $A$.

#Возникают 3 интервала: элементы меньшие, равные и большие $pivot$. i = L

while i <= H:

1.элементы, меньшие «оси»;

2.элементы, равные «оси»;

3.элементы, большие «оси».

Первый и последний из упомянутых интервалов могут остаться неупорядоченными, поэтому далее они рекурсивно сортируются процедурой «QSortInterval».

Алгоритм 12 Быстрая сортировка/«Quicksort» def pivotTrivial(A, left, right):

return A[left] # ось - первый элемент в интервале

def pivotRandom(A, left, right): #случайный выбор оси return A[LOG.random_source.randrange(left, right)]

def quicksort(A, pivotFunc): def QSortInterval(L, H):

if L < H: # Если в интервале [$A_L$ \ldots $A_H$] хотя бы два элемента newL, newH = partition(A, L, H, pivotFunc(A, L, H)) QSortInterval(L, newL - 1)

QSortInterval(newH + 1, H)

QSortInterval(0, len(A) - 1) return A

Упражнение 1.1.8. Модифицируйте алгоритм 12 «Quicksort», чтобы остался только один рекурсивный вызов.

Эффективность алгоритма существенно зависит от функции выбора «оси» (параметр «pivotFunc» в алгоритме 12 «Quicksort»). Например, если назначать «осью» значение, которое больше или меньше всех элементов, то алгоритм вовсе не будет работать — разбиение никак не будет уменьшать сортируемый интервал и алгоритм зациклится (хотя это конечно противоречит определению «оси», как одного из эле-

∑

k=1

Подставляя (1.5) в (1.3), убеждаемся, что T (N) = CN log N для некоторой константы C.

Однако допущенное нами предположение о равномерности распределения «осей» относительно интервалов может не выполняться на практике. На практике возможна ситуация, когда для выбранной функции «pivotFunc» будут попадаться исключительно «плохие» входные данные. В таком случае, когда нельзя «сделать случайными» входные данные, можно внести элемент случайности непосредственно в сам алгоритм. В частности, чтобы сохранилась оценка математического ожидания (1.4), достаточно сделать вероятностным выбор осевого элемента из разделяемого интервала — см. использование функции «pivotRandom» на рис. 1.5.

Другие интересные примеры анализа поведения алгоритмов на случайных данных будут рассмотрены

вглаве 3.

Взавершение раздела приведем небольшую «карту памяти» для запоминания рассмотренных в разделе понятий.