6.2. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ СВОДИМОСТИ И NP-ПОЛНОТА |
263 |
Историю современной теории сложности вычислений принято отсчитывать с работ [Кук75; Кар75], в которых были заложены основы теории NP-полноты и доказано существование вначале одной, а затем (в работе [Кар75]) достаточно большого числа (а именно, 21) естественных NP-полных задач. В неоднократно цитировавшейся монографии [ГД82] (вышедшей на английском языке в 1979 г.) приводится список известных к тому времени NP-полных задач, насчитывавший уже более 300 наименований. К настоящему времени количество известных NP-полных задач выражается четырехзначным числом, и постоянно появляются новые, возникающие как в самой математике и теории сложности, так и в таких дисциплинах, как биология, социология, военное дело, теория расписаний, теория игр и т. д. (см. [07; CK]). Более того, как мы уже отмечали в разделе 1.1, для подавляющего большинства задач из класса NP в конечном итоге удается либо установить их принадлежность классу P (т. е. найти полиномиальный алгоритм), либо доказать NP-полноту. Одним из наиболее важных исключений являются задачи типа дискретного логарифма и факторизации, на которых основаны многие современные криптопротоколы.
?
Именно этим обстоятельством объясняется важность проблемы P = NP. Безуспешным попыткам построения полиномиальных алгоритмов для NP-полных задач были посвящены усилия огромного числа выдающихся специалистов в данной области (в конце раздела мы вкратце расскажем о некоторых частичных результатах, полученных в обратном направлении, т. е. попытках доказать неравенство P ≠ NP). Ввиду этого можно считать, что NP-полные задачи являются труднорешаемыми со всех практических точек зрения, хотя, повторяем, строгое доказательство этого составляет одну из центральных открытых проблем современной математики.
Прежде всего необходимо иметь хотя бы одну NP-полную задачу. Честь быть первой выпала зада-
че 16 «SAT», «открытой» в [Кук75].
Теорема 29. Задача 16 «SAT» — NP-полна.
Доказательство. Очевидно, задача 16 «SAT» принадлежит NP, так как для любого слова x, представляющего выполнимую входную КНФ, существует подсказка y — значения переменных, при которых эта КНФ
264 |
Глава 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛОЖНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ |
выполняется, причем проверку легко выполнить за полиномиальное время, используя память не больше полиномиального объема.
Рассмотрим произвольный язык L 2 NP. Согласно определению 6.2.4 «NP/ДМТ»,
8x 2 L; 9y(x) : jy(x)j < poly(jxj);
и существует МТ M, распознающая Ly = fx#y(x)jx 2 Lg за полиномиальное время. Рассмотрим таблицу вычисления (см. доказательство теоремы 42) для M.
Будем использовать те же переменные, что и в доказательстве теоремы 42 (коды состояний клеток таблицы вычисления). Чтобы таблица вычисления соответствовала правильно проведённому успешному (с ответом 1) вычислению, должны выполняться локальные правила согласования для каждой четвёрки клеток вида 
, и результат должен быть 1. Каждое такое правило задаётся формулой от переменных, отвечающих либо рассматриваемой четвёрке, либо нулевой ячейке самой нижней строки таблицы. Определим формулу φx как конъюнкцию всех этих формул, в которые подставлены значения переменных, кодирующих вход x#y, дополненный символами до длины jxj + 1 + q(jxj). Значения, соответствующие x и #, — константы, поэтому переменные, от которых зависит эта формула, отвечают y и кодам внутренних ячеек таблицы. Так что можно считать, что формула φx зависит от y и ещё от каких-то переменных, которые мы обозначим z.
Итак, мы сопоставили слову x формулу φx(y; z), которая по построению обладает следующим свойством. Если M принимает x#y, то найдётся такой набор значений z(x; y), при котором φx(y; z(x; y)) истинна (эти значения описывают работу M на входе x#y). А если M не распознает x#y, то φx(y; z) всегда ложна (поскольку, по сути, утверждает, что вычисление на входе (x; y) даёт ответ 1).
Все остальные доказательства NP-полноты (а уже следующая работа [Кар75] содержала 21 такое доказательство) основаны на следующем легко проверяемом замечании: если NP-полная задача P1 по-
6.2. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ СВОДИМОСТИ И NP-ПОЛНОТА |
265 |
линомиально сводится к переборной задаче P2, то P2 также NP-полна. Поэтому общие рекомендации состоят в том, чтобы выбрать в списке уже известных NP-полных задач «максимально похожую» и попытаться свести ее к интересующей нас задаче. Актуальные списки и каталоги NP-полных задач (в дополнение к классическому труду [ГД82]) можно найти в [07; CK]
К сожалению, о том, как именно применять эту общую рекомендацию в каждом конкретном случае, что-либо определенное сказать довольно трудно. Доказательства NP-полноты являются скорее искусством, и мы от всей души желаем нашим читателям больше полиномиальных алгоритмов, хороших и разных, для интересующих их задач, чтобы обращаться к этому специфическому искусству им пришлось как можно реже.
В случае, если такая необходимость все же возникнет, мы рекомендуем обратиться к прекрасно написанной третьей главе монографии [ГД82], по которой можно ознакомиться, по крайней мере, с некоторыми ориентирами на этом пути.
Здесь же мы ограничимся простым примером.
Задача 28. «3-Выполнимость/3SAT».
Вариант задачи 16 «SAT», где каждая элементарная дизъюнкция (3.4) имеет длину k 3. Соответствующие КНФ называются 3-КНФ.
Оказывается, задача 16 «SAT» сводится к своему ограниченному варианту 28 «3SAT». В самом деле, если дана некоторая КНФ (3.3), мы заменяем в ней каждую элементарную дизъюнкцию (3.4) с k > 3 на следующее булевское выражение:
|
1 |
2 |
|
3 |
: : : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi2 (xj1 |
_ xj2 ) |
^ yi3 (yi2 _ xj3 ) ^ |
^ |
( |
|
|
_ |
|
) ^ |
|
||
( |
|
|
) ( |
) |
: : : |
yik |
k |
yik; |
|||||
|
|
|
|
|
(yi;k 1 xjk ) |
|
|||||||
6.2. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ СВОДИМОСТИ И NP-ПОЛНОТА |
269 |
В настоящее время «экспертное мнение» склоняется к тому, что скорее всего P ≠ NP. Таким образом, можно представить общепринятое представление об отношениях классов NP, coNP, P, NPC на рис. 6.9.
Для того чтобы доказать этот факт, необходимо научиться получать нижние оценки сложности любого алгоритма, предназначенного для решения некоторой задачи из класса NP.
Соответствующая проблема так и называется проблемой нижних оценок. Мы уже видели ранее (и познакомимся с массой таких примеров в дальнейшем), что для самых разнообразных задач возможны весьма неожиданные алгоритмы, основанные на самых различных идеях. Для доказательства же нижних оценок необходимо найти некоторое общее рассуждение, которое учитывало бы все такие алгоритмы, как уже существующие, так и те, которые могут быть построены в будущем.
Поэтому проблема нижних оценок является крайне трудной, и решена она лишь в довольно частных случаях.
Традиционно эта проблема в подавляющем большинстве случаев рассматривается в контексте схемной (или булевой) сложности (см. раздел 6.4) ввиду исключительной внешней простоты и наглядности схемной модели. Из отмеченной взаимосвязи между алгоритмами и схемами вытекает, что проблема нижних оценок для последних должна быть столь же трудной, как и для алгоритмов.
Действительно, наилучшая известная оценка сложности схем для какой-либо задачи из класса NP всего лишь линейна от числа переменных n и составляет 5n o(n) (см. [IM02]).
Гораздо больших успехов в получении нижних оценок сложности удалось добиться для схем с различными ограничениями. К числу таких ограниченных моделей относятся, например, монотонные схемы (в которых запрещаются элементы NOT ) или схемы ограниченной глубины (в которых вдоль любого пути число чередований элементов различных типов ограничено сверху произвольно большой, но фиксированной заранее константой). Для таких схем проблема нижних оценок практически полностью решена: см., например, [Раз85a; Раз85b].
270 |
Глава 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛОЖНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ |