Упражнение 6.4.10. Докажите, что существует разрешимый предикат, который принадлежит P/poly, но не принадлежит P .

6.5Коммуникационная сложность

С появлением и развитием телекоммуникационных сетей и распределенных вычислений стали возникать новые типы ресурсных ограничений — коммуникационные.

О них не могло быть и речи, пока компьютеры были вне сети — хватало рассмотренных в разделе 6.1.2 временных и пространственных ресурсных ограничений и соответствующих мер сложности задач. Объединение компьютеров в локальные сети также редко приводило к тому, что «бутылочным горлышком» при решении какой-либо задачи являлись именно пропускная способность сети или высокая стоимость трафика.

Однако с появлением глобальных сетей стали возникать ситуации, когда, например, несколько мощных научных центров, обладающих огромными вычислительными ресурсами, пытаются объединить усилия для решения некоторой вычислительной задачи, либо когда филиалам транснациональной корпорации требуется выполнить, возможно, алгоритмически несложные действия, но над распределенными базами данных, при этом основной стоимостью становится стоимость коммуникаций. Как напрямую, путем оплаты услуг провайдера, так и опосредовано — когда передача больших объемов данных занимает много дорогостоящего времени и тормозит вычисления.

Таким образом, появилось новое ресурсное ограничение — стоимость коммуникации, и, соответственно, появилась новая мера сложности алгоритмических задач — коммуникационная сложность.

При исследовании коммуникационной сложности задачи полагают, что входные данные некоторым образом распределены между n > 1 участниками, каждый из которых обладает неограниченными вычислительными ресурсами, и необходимо установить нижние и верхние оценки для трафика (объема со-

ствует тривиальное решение, заключающееся в пересылке одним участком другому всех своих данных — O(n). Это является верхней оценкой коммуникационной сложности для задач с двумя участниками, поэтому интерес составляет получение более низких оценок — полилогарифмических или константных.

Приведем примеры нескольких задач с установленными для них оценками коммуникационной сложности.

Задача 33. «ЧЕТНОСТЬ». Алиса и Боб имеют по битовой строке длины n. Необходимо вычислить четность числа битов строки-конкатенации.

Легко видеть, что коммуникационная сложность задачи 33 равна O(1). Действительно, Алисе достаточно вычислить четность своей строки (один бит) и передать ее Бобу.

Задача 34. «СРАВНЕНИЕ». Алиса и Боб имеют битовые строки длины n: X = (x1; : : : ; xn) и Y = (y1; : : : ; yn) соответственно. Нужно сравнить эти строки (проверить на эквивалентность).

Оказывается (доказано), что нижние оценки для задачи 34 совпадают с тривиальными верхними оценками, и, таким образом, коммуникационная сложность точного решения задачи 34 есть (n).

Задача 35. «СУММА БИТ». Алиса и Боб имеют по битовой строке длины n. Одинаково ли число единиц в битовых строках?

Простой алгоритм для задачи 35: «Алиса высылает Бобу сумму единиц в своей строке», имеет коммуникационную сложность O(log n).

С другой стороны, доказано (здесь мы не будем касаться методик получения нижних оценок), что этот алгоритм также является оптимальным.

Приведем задачу, в которой, правда, вычисляется не булевая функция, а число, но оптимальный алгоритм в которой менее тривиален.

Лемма 47. Число различных простых делителей любого числа, меньшего 2n, не превосходит n.

Пусть A(n) — число простых, делящих X Y . Тогда вероятность ошибки равна отношению числа простых, делящих X Y , к числу всех простых из интервала [1 : : : m], то есть

причем m > n.

Для того чтобы вероятность ошибки была мала, m должно быть достаточно велико. Пусть m = nc; c = const, тогда

Видно, что при больших n, Perr очень мала. Например, если c = 2, для n = 105 будет m = 1010, а

При этом для сравнения двух строк достаточно переслать выбранный простой делитель ( m) и остаток от деления (< m), т. е. потратить не более 2 log m = O(log n) бит.