5.2Метод малых вероятностных пространств

В разделе 4.3.1 мы уже рассматривали параллельный вероятностный алгоритм Parallel MIS, для поиска максимального по включению независимого множества (см. определение 4.3.2 «MAX-IND-SET»), причем у этого алгоритма средним числом итераций было логарифмическим от длины входа.

Идея дерандомизации этого алгоритма заключается в том, чтобы показать, что вероятностный анализ работает аналогичным образом, даже если пометки вершин делаются не полностью независимо, а попарно независимо. Отметим, единственное место в анализе алгоритма, где использовалась независимость пометок, была лемма 17.

Справедлива следующая

Лемма 24. Если в алгоритме Parallel MIS случайные пометки вершин делаются попарно независимо, то вероятность того, что хорошая вершина принадлежит множеству S [ S), не меньше, чем 1/24.

Ключевое преимущество попарной независимости состоит в том, что только O(log n) случайных бит достаточно для порождения всех точек соответствующего вероятностного пространства.

Число точек в таком пространстве есть O(nc) и может быть просмотрено полным перебором за полиномиальное время.

Доказательство леммы. Единственное место, где использовалась полная независимость пометок вершин, была нижняя оценка вероятности, что хорошая вершина становится помеченной. Была использована следующая оценка.

Пусть Xi, 1 i n — f0; 1g–случайные величины и pi = P(Xi = 1). Если Xi независимы в совокупности, то

Мы заменим эту оценку соответствующей оценкой для попарно независимых случайных величин. Утверждение. Пусть Xi, 1 i n — f0; 1g–случайные величины и pi = P(Xi = 1). Если Xi попарно

независимы, то

i pi > 1/2, то ограничим индексы суммирования по подмножеству S [n], такому, что 1/2 i pi 1, и повторим то же доказательство.

Завершим теперь доказательство леммы.

Напомним, что вершина v 2 V называется хорошей, если она имеет не менее d(v)/3 соседних вершин степени не более d(v). В противном случае вершина называется плохой.

точек из построенного вероятностного пространства достаточно будет вычислить в каждой точке подмножество вершин R, соответствующее шагу 2.1 алгоритма Parallel MIS, затем для каждого ребра в R выбросить концевую вершину меньшей степени (шаг 2.2 алгоритма), подсчитать число NR ребер, смежных с оставшимся множеством вершин. Затем взять множество R, максимизирующее показатель NR. Оно обеспечит требуемые оценки на число итераций детерминированного алгоритма.

Итак, для осуществления указанного метода дерандомизации нужна конструкция небольшого вероятностного пространства со свойством попарной независимости соответствующих случайных величин. Опишем эту конструкцию.

Выберем наименьшее простое число p, такое, что cn p, где точное значение константы c > 1 выберем далее. Для каждой вершины u выберем целое au, такое, что au/p 1/2d(u) и интервал Au, jAuj = au в Zp. Более точно, положим au = 2dp(u) . Тогда

Достаточно выбрать c = 10, чтобы для вероятности вершины u быть помеченной на шаге 2.1 алгоритма Parallel MIS было выполнено неравенство

Упражнение 5.2.1. Покажите, что при указанном выборе вероятностей пометки вершин анализ алгоритма Parallel MIS, проведенный в разделе 4.3.1, остается в силе с небольшим изменением констант. В частности, лемма 17 справедлива без изменений, в лемме 18 оцениваемая вероятность не меньше 2/5, в лемме 19 — соответственно не менее (2/5) (1 e 1/6).