В следующем раунде каждый правильный процессор получает по крайней мере G > H > L голосов за v и присваивает maj значение v на шаге 3. Затем на шаге 7 tally превосходит выбранный (любым образом) порог. Когда правильный процессор принимает решение di, остальные правильные процессоры должны иметь tally threshold, поскольку G H + t. Следовательно, они все будут голосовать за одно и то же значение di.

Теорема 16. Математическое ожидание числа раундов для алгоритма ByzGen для достижения византийского соглашения ограничено константой.

4.4Вероятностное округление

4.4.1Вероятностное округление для задачи «MAX-SAT»

Рассмотрим следующую задачу ([GW94]).

Задача 20. Максимальная выполнимость/MAX-SAT.

Даны m скобок конъюнктивной нормальной формы (КНФ) с n переменными. Найти значения переменных, максимизирующие число выполненных скобок.

В качестве примера рассмотрим следующую КНФ:

(x1 _ x2)(x1 _ x2 _ x3)(x2 _ x1)(x3 _ x2):

Переменные или их отрицания, входящие в скобку, называются литералами (так в первой скобке литералами являются x1 и x2).

Задача MAX-SAT является NP-трудной, но мы рассмотрим сейчас простое доказательство того, что для любых выполнимых m скобок существуют значения переменных, при которых выполнено не менее m/2 скобок.

Теорема 17. Для любых m выполнимых скобок (т. е. скобок, не содержащих одновременно переменную и ее отрицание) существуют значения переменных, при которых выполнено не менее m/2 скобок.

Доказательство. Предположим, что каждой переменной приписаны значения 0 или 1 независимо и равновероятно. Для 1 i m пусть Zi = 1, если i-я скобка выполнена, и Zi = 0 в противном случае.

Для каждой дизъюнкции (скобки) с k литералами (переменными или их отрицаниями) вероятность, что эта дизъюнкция не равна 1 при случайном приписывании значений переменным, равна 2 k, поскольку это событие имеет место, когда значение каждого литерала в дизъюнкции равно 0, а значения разным переменным приписываются независимо. Значит, вероятность того, что скобка равна 1, есть 1 2 k 1/2,

Эта теорема дает по существу приближенный вероятностный алгоритм.

Определение 4.4.1. Вероятностный приближенный алгоритм A гарантирует точность C, если для всех входов I

1 E mA(I) C > 0; m0(I)

где m0(I) — оптимум, mA(I) — значение, найденное алгоритмом, и решается задача максимизации.

Рассмотрим теперь вероятностный алгоритм 33 (так называемое вероятностное округление), более интересный, чем тривиальное равновероятностное округление каждой переменной в 1 и 0. При вероятностном округлении в алгоритме 33 каждая переменная yi независимо принимает значение 1 с вероят-

Лемма 22. Пусть в скобке Cj имеется k литералов. Вероятность того, что она выполнена при вероятностном округлении, не менее kz^j.

Доказательство. Поскольку мы рассматриваем отдельно взятую скобку, без ограничения общности можно предположить, что все переменные входят в нее без отрицаний (докажите этот факт в качестве упражнения!). Пусть эта скобка имеет вид: x1 _ : : : _ xk. Из ограничений линейной релаксации (4.2) следует, что

y^1 + : : : + y^k z^j:

188 Глава 4. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ И ИХ АНАЛИЗ

Алгоритм 33 Приближенный вероятностный алгоритм для задачи 20 (MAX-SAT) на основе линейной релаксации

Скобка Cj остается невыполненной при вероятностном округлении, только если каждая из переменных yi округляется в 0. Поскольку каждая переменная округляется независимо, это происходит с вероятностью ∏ki=1(1 y^i). Остается только показать, что

∏k

1(1 y^i) kz^j:

i=1

Выражение в левой части достигает минимума при y^i = z^j/k для всех i. Остается показать, что 1 (1

меньше линейной функции на отрезке, достаточно проверить это нестрогое неравенство на концах этого отрезка, т. е. в точках x = 0 и x = 1 (проделайте это в качестве упражнения).

Используя тот факт, что k 1 1/e для всех положительных целых k, получаем, что справедлива следующая

Теорема 18. Для произвольного входа задачи MAX-SAT (произвольной КНФ) среднее число скобок, выполненных при вероятностном округлении, не меньше (1 1/e) от максимально возможного числа выполненных скобок.

Атеперь мы опишем простую, но общую идею, которая позволит получить приближенный вероятностный алгоритм, имеющий точность 3/4.

Аидея такова: на данном входе запускаем два алгоритма и выбираем из решений лучшее. В качестве двух алгоритмов рассматриваем два алгоритма, описанных выше:

1.округление каждой переменной независимо в 0 или 1 с вероятностью 1/2;

2.вероятностное округление решения линейной релаксации соответствующей целочисленной программы (алгоритм 33 «вероятностный MAX-SAT»).

Для входной КНФ ϕ обозначим через n1 = n1(ϕ) и n2 = n2(ϕ) число выполненных скобок для первого