3.3Выполнимость КНФ

Возьмем некоторое подмножество S = fCj1 ; : : : ; Cjk g из k скобок и зададимся вопросом: когда все скобки в S будут равны нулю? Обозначим это утверждение предикатом ZS(x) = 1 и раскроем определение:

т. е. ZS зависит только от множества литералов LitS и не зависит от распределения литералов по отдельным скобкам. А для множества S возможны два варианта. Множество S может быть:

зависимое — 9i: литералы xi 2 LitS и xi 2 LitS. В этом случае ZS 0, т. е. jx : ZS(x) = 1j = 0 — нет выполняющих ZS наборов.

независимое — i: xi 2 LitS и xi 2 LitS. Тогда есть выполняющие ZS наборы x, причем каждая переменная из LitS может входить либо в положительной степени и иметь значение «0», либо в отрицательной степени и иметь значение «1». т. е. если x3 2 LitS, то x3 = 1, а если x7 2 LitS, то x7 = 0. Для остальных переменных, не входящих в LitS, значение может быть любым. Поэтому jx : ZS(x) = 1j = 2n LitSj.

Итак, если 9x : CNF (x) = 0, то существует некоторое независимое S. Для подсчета размера множества обнуляющих наборов jX0j построим все независимые множества и просуммируем для каждого независимого множества S число «обнуляющих» наборов 2n LitSj.

Рис. 3.4: «Обнуляющие» наборы для трехскобочной КНФ

Разумеется, напрямую суммировать нельзя, т.к. «обнуляющие» наборы различных множеств пересекаются. Например, рассмотрим трехскобочную (скобки C1; C2; C3) КНФ, у которой все наборы скобок fC1g, fC2g, fC3g, fC1; C2g, fC1; C3g, fC2; C3g, fC1; C2; C3g являются независимыми. Тогда множество «обнуляющих» наборов fx : ZfC1g = 1g включает в себя множество fx : ZfC1;C2g = 1g, которое включает

Стартуем же мы с пустого множества N0.

Заметим, что непосредственно для подсчета jX0j нет необходимости хранить все независимые множества, достаточно хранить текущее Nk (и вычисляемое Nk+1), и суммировать оценку jX0j по формуле включений-исключений одновременно с построением Nk+1.

Таким образом, мы получаем алгоритм 29.

Лемма 7. Сложность алгоритма 29 в наихудшем случае:

O(m2n max jNkj):

k

Доказательство. Действительно:

•цикл по «слоям» — O(m);

•цикл по скобкам — O(m);

•цикл по независимым множествам из k скобок — O(Nk).

•цикл по литералам в скобке (проверка независимости множества S = Cj + t) внесет множитель

O(n);

Общая трудоемкость — O(m2n maxk jNkj).

Видно, что, как и в случае с другими алгоритмами динамического программирования, время работы алгоритма определяется размером множества частичных решений (в данном случае Nk). В частности, оно может быть экспоненциальным.

Упражнение 3.3.1. Какие входные данные для алгоритма 29 заставят его работать экспоненциально долго?

С другой стороны, на многих входах этот алгоритм работает эффективно.

Упражнение 3.3.2. На каких входных данных этот алгоритм будет работать O(m)?

Для оценки практичности алгоритма попробуем ввести некоторое вероятностное распределение входных данных и оценить сложность алгоритма в среднем.

Теорема 10. Пусть для каждой скобки вероятность появления каждой из n переменных (или ее отрицания) равна p, причем

np2 ln m:

Тогда алгоритм 29 является полиномиальным в среднем.

Доказательство. Для доказательства достаточно будет оценить сверху математическое ожидание jNkj. Пусть Sk — некоторое множество скобок, jSkj = k.

Вероятность того, что внутри одной скобки xi «не встретится» с :xi равна 1 p2. Вероятность p~i(Sk), что xi избежит встречи с :xi в каждой из k скобок Sk равна

p~i(Sk) = (1 p2)k:

Обозначим через pi(Sk) вероятность, что в Sk нет одновременно xi и :xi.

Эта вероятность pi(Sk), очевидно не больше вероятности p~i(Sk), ибо в последнем случае разрешается xi встретиться с :xi, если они будут в разных скобках (поскольку мы оцениваем дополнения событий, то дополнение к более узкому событию и дает верхнюю оценку), поэтому

pi(Sk) (1 p2)k:

138 Глава 3. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АЛГОРИТМОВ

Теперь оценим вероятность того, что Sk — независимое множество, обозначив ее через P (Sk):

∏n

P (Sk) = pi(Sk) (1 p2)kn:

i=1

Видно, что эта вероятность зависит только от размера множества Sk, поэтому дальше будем обозначать ее через P (k).

Теперь можно оценить математическое ожидание maxk jNkj:

Упражнение 3.3.3. Докажите, что