Из неравенства треугольника (докажите это в качестве упражнения)

c(PH ) c(M1) + c(M2):

Но M — кратчайшее паросочетание, значит, c(M1) c(M), c(M2) c(M). Имеем

c(PH ) 2c(M) ) c(M) 12c(PH ):

Окончательно имеем

c(PH ) c(T ) + c(M) c(PH ) + 12c(PH ) = 32c(PH ):

2.2Аппроксимация с заданной точностью

2.2.1«Рюкзак»: динамическое программирование

Варианты алгоритмов динамического программирования для задачи о рюкзаке. Алгоритм Немхаузера – Ульмана.

В силу важности метода динамического программирования для построения эффективных приближенных алгоритмов мы остановимся на нем несколько подробнее и проиллюстрируем его на примере следующей NP-полной задачи.

Задача 14. «Сумма размеров» («Рюкзак-выполнимость») Даны:

a1; : : : ; an, aj 2 N — «размеры» или «веса»;

B 2 N — «размер рюкзака».

вет «Да», в противном случае — «Нет». Множество всех частичных сумм T может быть построено путем просмотра всех булевых (0/1) векторов (т. е. «полным перебором» 2n векторов). Динамическое программирование дает псевдополиномиальный алгоритм, основанный на рекуррентном соотношении

Tk+1 = Tk [ fTk + ak+1g;

где fTk + ak+1g обозначает множество всех чисел вида

s + ak+1; s 2 Tk;

которые не превосходят B.

Отметим, что этот алгоритм на самом деле находит все различные значения частичных сумм и, таким образом, дает точное решение задачи. Число шагов алгоритма есть величина O(nB), поскольку

1.число циклов равно n;

2.размер каждого множества Ti не превосходит B.

При небольших значениях B снижение сложности с 2n до Bn дает очевидный эффект, и это характерно для многих псевдополиномиальных алгоритмов.

Так как задача 14 «Сумма размеров» NP-полна, рассчитывать на построение для нее алгоритма существенно лучшего, чем псевдополиномиальный алгоритм 23 «Сумма размеров», не приходится.

Упражнение 2.2.1. Рассмотрим некоторую модификацию задачи 23 «Сумма размеров», разрешим даже отрицательные размеры. Формально:

• Даны целые числа ai; 8i 2 [1 : : : n] n2 ai n2 и число B.

• Найти ответ на «Существует ли решение в 0–1 переменных (x1; : : : ; xn) уравнения ∑ni=1 aixi = B?».

Существует ли полиномиальный алгоритм для этой задачи?

Рассмотрим теперь внешне похожую NP-полную задачу 13 «Knapsack» и проиллюстрируем, как ме-

что через f мы обозначаем стоимость оптимального набора). Это аналогично заполнению за n шагов 0/1 таблицы размером B f , представляющей пространство всевозможных допустимых (не обязательно оптимальных) решений задачи 13 «Knapsack».

Однако уменьшить перебор можно учитывая следующий ключевой факт: Если на k-м шаге у нас име-

ется несколько частичных решений с одинаковой массой, но различной стоимостью, то можно для каждой массы оставить решения лишь с максимальной стоимостью, а если есть несколько частичных решений с одинаковой стоимостью, но различной массой, то можно смело выкинуть решения с большей массой. При любом из упомянутых действий мы не потеряем оптимальное решение!

Соответственно, это означает отсутствие необходимости держать в памяти все частичные решения, достаточно на каждой итерации помнить не больше, чем B наиболее «дорогих» частичных решений, либо не больше, чем f наиболее «легких» решений.

Алгоритм 24 «Рюкзак-ДинПрог» помнит о наиболее «дорогих» частичных допустимых решениях и тем самым дает точное решение задачи за время O(nB).

Действительно,

1.число циклов равно n;

2.размер множества отобранных частичных решений не превосходит B.

Упражнение 2.2.2. Постройте алгоритм динамического программирования для задачи 13 «Knapsack», основанный на отборе наиболее «легких» частичных решений. Какова будет его временная сложность?

Таким образом, для небольших значений параметров c1; : : : ; cn или B можно построить эффективный псевдополиномиальный алгоритм для точного решения задачи о рюкзаке. Еще раз отметим, что он не является полиномиальным. При росте значений параметров c1; : : : ; cn, B эффективность этого алгоритма будет уменьшаться. Кроме этого, стоит помнить и о пространственной сложности алгоритма — нам требуется Ω(B) или Ω(f ) памяти для хранения частичных решений.

Упражнение 2.2.3. Придумайте входные наборы для алгоритма 24 «Рюкзак-ДинПрог», на которых он будет работать экспоненциальное время.

Упражнение 2.2.4. Придумайте входные наборы для алгоритма из упражнения 2.2.2, на которых он будет работать экспоненциальное время.

Что же делать, если параметры c1; : : : ; cn или B задачи велики настолько, что сложность алгоритма 24 «Рюкзак-ДинПрог» (или алгоритма из упражнения 2.2.2) не укладывается в требования технического задания по времени и/или по памяти?

Можно организовать «разумный» перебор, не привязываясь к ограничению входных параметров типа B или maxi ci, перечисляя так называемые доминирующие частичные решения.

Определение 2.2.1. Пусть S1 и S2 допустимые подмножества предметов для задачи 13 «Knapsack».

S1 доминирует над S2, если:

•стоимость S1 больше стоимости S2,

•вес S1 не больше веса S2.

или если

•стоимость S1 равна S2,

•вес S1 меньше S2.

Набор доминирующих подмножеств есть набор Парето-оптимальных решений, т. е. таких решений, в которых нельзя улучшить один параметр (стоимость) без ухудшения другого параметра (увеличения веса).

Алгоритм Немхаузера – Ульмана (алгоритм 25 «Рюкзак Немхаузера–Ульмана»), аналогично алгоритму 24 «Рюкзак-ДинПрог», порождает подмножества поочередным добавлением предметов. Только вместо таблицы (размера не более B) «наиболее дорогих решений» поддерживается список доминирующих

решений, упорядоченных по возрастанию веса. При добавлении каждого предмета порождается новый список, в котором подмножества также упорядочены по весу и являются доминирующими по отношению друг к другу. Остается слить эти два списка, удалив доминируемые подмножества.

Заметим, что и алгоритм 25 «Рюкзак Немхаузера–Ульмана» остается в наихудшем случае экспоненциальным.

Упражнение 2.2.5. Придумайте входные наборы для алгоритма 25 «Рюкзак Немхаузера–Ульмана», на которых он будет работать экспоненциальное время.

Однако практика использования показала, что на реальных данных алгоритм 25 «Рюкзак Немхаузе- ра–Ульмана» работает достаточно хорошо. Объяснение этому будет дано в разделе 3.5.

Если же необходимо застраховаться от возможных «плохих» входных данных, то можно использовать идею алгоритма 24 «Рюкзак-ДинПрог» для эффективного приближенного решения задачи 13 «Knapsack» с любой наперед заданной точностью (см. раздел. 2.2.2).

Упражнение 2.2.6. Некоторая торговая сеть решила ускорить обслуживание на кассах, по возможности исключив возню кассиров с копейками. К сожалению, просто «прощать» покупателям «копеечную» часть суммы покупки нельзя — для контролирующих органов необходимо, чтобы зарегистрированные на кассе суммы полностью совпадали с полученными деньгами.

К кассе покупатель подходит с корзиной товаров, каждая строка корзины — тип товара, его цена и количество. На каждый товар, можно давать скидку, но такую, чтобы его цена не стала ниже его цены в рублях (т. е. если товар стоит 12 рублей и 34 копейки, нельзя сбросить цену ниже 12 рублей).

Задача — найти алгоритм, который уменьшит цены всех товаров (при вышеуказанном ограничении), чтобы сумма всей корзины стала целым числом рублей с одной стороны, а с другой, чтобы потери для торговой сети были минимальными.