[Щур, Фейгельман] Метод трансфер-матрицы для модели Изинга (2011)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет)

МЕТОД ТРАНСФЕР-МАТРИЦЫ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Лекции из цикла Избранные методы теоретической физики

Учебно-методическое пособие

Издание второе. Исправленное.

МОСКВА 2011

ÓÄÊ 73.23

Составитель: профессор, д.ф.-м.н. Щур Л.Н.

Рецензент профессор, доктор физико-математических наук М.В. Фейгельман

Метод трансфер-матрицы в статистической механике (Лекции из цикла Избранные методы теоретической физики ):

Учебно-метод. пособие/ Сост. Л.Н. Щур. М.: МФТИ, 2011. - 22 с.

Обсуждается применение метода трансфер матрицы для решения моделей статистической механики на одномерных и двумерных решетках. Эффективность метода демонстрируется в применении к модели Изинга, а также для решения задачи о сопротивлении полубесконечной полоски решетки из сопротивлений.

Предназначено для использования в обучении студентов Московского физико-технического института, а также для аспирантов и преподавателей в качестве справочного пособия.

c Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, 2007

1 Модель Изинга

1.1Историческое замечание

Модель Изинга была предложена Вильгельмом Ленцем [1] (Wilhelm Lenz)

â1920 году и решена в одномерном случае его учеником Эрнстом Изингом [2] (Ernst Ising) в 1925 году. Модель Изинга на квадратной решетке в отсутствии внешнего магнитного поля была решена точно Ларсом Онзагером [3] (Lars Onsager) в 1944 году. Его работа считается одной из самых красивых

âтеоретической физике. Решение Онзагера достаточно сложное и выходит за рамки нашего курса. Основное внимание мы посвятим изучению метода трансфер-матрицы в его применении к одномерным моделям.

Модель Изинга сыграла ключевую роль в понимании физики фазовых переходов и критических явлений, формировании гипотезы универсальности, развитии методов трансфер-матрицы и ренорм-группы, методов численного исследования решеточных теорий поля. Она является моделью, на которой проверяются гипотезы и методы при развитии теории поля.

1.2Линейная цепочка

Решение одномерной модели Изингом [2] представляет хорошее введение в технику трансфер-матрицы. Модель Изинга на одномерной решетке может быть определена следующим образом.

Зададим цепочку из N узлов (одномерная решетка). В каждом узле i поместим переменную, спин µi. Пусть каждый спин µi может принимать только два значения µ=+1 è µ=−1 (что можно интерпретировать также,

как ориентацию вверх и вниз, соответственно). Мы предполагаем, что все спины эквивалентны и что энергия спина зависит только от ориентации его соседей слева и справа, и от приложенного (внешнего) магнитного поля H. В этом случае у нас есть только два параметра - магнитный

момент спина s и энергия спина в поле его соседей J. При таких соглашениях полная энергия цепочки из N спинов записывается в виде

Вопрос 1. Сколько возможных состояний у цепочки из N спинов?

Если каждый спин имеет определенное значение µi, то состояние цепочки описывается набором (µ1, µ2, . . . , µN−1, µN ) ≡ {µ}, который можно интерпретировать,

3

как точку в фазовом пространстве системы. Каждая точка фазового пространства имеет определенное значение энергии, которая вычисляется по формуле (1), и значение намагниченности

∑N

В отсутствие магнитного поля и других внешних воздействий все спины выстроятся параллельно. Энергия системы примет минимальное значение E0=−(N−1)J, a намагниченность примет одно из двух значений

M0=Ns èëè M0=−Ns, каждое из которых максимально по модулю. Включение магнитного поля однозначно задаст знак намагниченности.

Для определенности будем считать за положительное значение намагниченности ее направление вдоль оси z.

1.3Термодинамическое равновесие

Приведем цепочку в контакт с тепловым резервуаром (термостатом), имеющим температуру T . За некоторое время (время релаксации) цепочка

придет в термодинамическое равновесие, которому соответствуют определенные значения энергии E(T ) и намагниченности M(T ).

При очень большой температуре взаимодействием между спинами можно пренебречь, поскольку каждый спин будет иметь случайное направление, независимое от направления его соседей. При этом намагниченность M

будет иметь очень малое значение и в пределе бесконечной температуры стремится к нулю.

Вопрос 2. Каково значение энергии цепочки (1) в нулевом магнитном поле при очень большой температуре?

Уместно сделать вывод, что энергия и намагниченность цепочки спинов являются функциями температуры E(T ) è M(T ).

Как вычислить значение энергии цепочки E(T ) и ее намагниченности M(T ) при конечном значении температуры T (не очень малой и не очень большой по сравнению с энергией взаимодействия спинов J и с магнитной энергией sH)?

Для решения задачи вычисления термодинамических функций из микроскопически сил, действующих между компонентами системы, Джозайя Виллард Гиббс

(J. Willard Gibbs) в 1901 году ввел формализм статистической механики (термин принадлежит Джеймсу Клерку Максвеллу (James Clerk Maxwell)).

4

Последовательное введение формализма статистической механики выходит за рамки настоящих лекций. Мы приведем кратко основные идеи применительно к нашему частному случаю.

1.4Фазовое пространство, вероятность состояния и статистическая сумма

Пусть у нас есть система, которая может находиться в одном из n состояний {µ} (для нашей цепочки это одна из n=2N конфигураций спинов) c энергиями E. При больших значениях числа узлов N мы имеем

большое число n = 2N возможных состояний. Состояния можно интерпретировать, как точки в N-мерном фазовом пространстве цепочки. Можно поставить

вопрос о вероятности состояния того или иного состояния системы. Пусть функция P (µ) есть вероятность того, что при фиксированных

внешних параметрах (H, T ) система находится в состоянии {µ}, в котором все N спинов имеют определенное значение. При этом,

∑

{µ}

то есть реализуются все состояния системы.

По аналогии с распределением Больцмана-Максвелла естественно предположить, что эта вероятность имеет вид

ãäå E(µ) - энергия состояния {µ}, T - температура термостата и k - постоянная Больцмана, причем Z надо определить из условия нормировки (3). Подставив (4) в (3), получим для Z

µ

Полученная величина называется статистической суммой (partition function) - это сумма по всем состояниям системы в термодинамическом равновесии от экспоненты отношения энергии системы к тепловой энергии со знаком минус.

В случае нашей цепочки сумма по всем состояниям {µ} в выражениях

∑

(3) и (5) понимается, как сумма {µ} ïî âñåì n = 2N значениям спинов

5

1.5Термодинамические средние, свободная энергия

Среднее значение величины A определяется выражением

µ

С другой стороны, вычислим производную от логарифма статистической суммы

Сравнивая два последних выражения (8) и (9), получим, что среднюю энергию можно представить в виде

определенная в (11), как функция статистической суммы, есть свободная энергия.

6

1.6Решение Изинга для одномерной цепочки

Введем обозначения K = J/kT è h = sH/kT , тогда статистическая сумма цепочки из N спинов запишется, как

1.6.1Вероятности состояний цепочки из N спинов

В этом разделе мы приведем наводящие соображения по построению трансфер матрицы, следуя рассуждению Крамерса и Ванье [4].

Вероятность конкретного состояния цепочки из N спинов пропорциональна

PN exp {K(µ1µ2 + µ2µ3 + · · · µN−1µN ) + h(µ1 + µ2 + · · · µN )} (14) и цепочки из N+1 спинов

PN+1 exp {K(µ1µ2 + · · · + µN−1µN + µN µN+1) + h(µ1 + · · · + µN + µN+1)}

Вычислим теперь вероятность P (µN ) òîãî, ÷òî µN имеет значение +1 или −1 вне зависимости от значений других спинов µ1, µ2, . . . , µN−1. Ýòà вероятность получается суммированием выражения (14) по значениям спинов µ1, µ2, . . . , µN−1 (суммирование по µN не производится!)

∑

P (µN )

µ1,µ2,...,µN−1=±1

exp {K(µ1µ2+µ2µ3+· · ·µN−1µN )+h(µ1+µ2+· · ·µN )} (17)

Далее, суммируя выражение (15) по тому же набору переменных µ1, µ2, . . . , µN−1, мы получим вероятность P (µN , µN+1) значений пары спинов µN , µN+1,

то есть какой-либо из четырех комбинаций значений двух спинов в конце цепочки ++, −−, +− èëè −+

7

∑

P (µN , µN+1)

µ1,µ2,...,µN−1=±1

exp {K(µ1µ2+· · · + µN−1µN +µN µN+1)+h(µ1+· · ·+µN +µN+1} .(18)

Последние две вероятности отличаются друг от друга тем же множителем (16), что и исходные вероятности (14) и (15)

По построению, действие матрицы V (µ, µ′) состоит в добавлении спина µ к цепочке и суммировании по предыдущему спину µ′. Она называется трансфер-матрицей.

1.6.2Трансфер-матрица одномерной цепочки на кольце

Результат предыдущего раздела учит нас, что в принципе мы можем написать уравнение типа (22) с подходящей матрицей V . Ïðè ýòîì ìû

допустили вольность, предположив, что слева и справа в уравнении (20) стоит один и тот же вектор. На самом деле, это имеет место для цепочки с периодическими граничными условиями, то есть на кольце. Формализм этого раздела и состоит в решении уравнения для такой цепочки спинов, замкнутой в кольцо. Подробнее смотри книгу [5].

8

Уравнение (22) есть уравнение на собственные векторы и собственные значения трансфер-матрицы (23) одномерной модели Изинга. Его можно записать в матричном виде

∑

µ′=±1

Поскольку матрица V симметричная, то можно найти пару ортонормированных собственных векторов a1(µ) è a2(µ), òàê ÷òî

9

Мы можем параметризовать собственные векторы углом ϕ в диапазоне

0 < ϕ < π/2

Собственному значению λ2 соответствуют собственные векторы a2,1 =

− sin ϕ è a2,2 = cos ϕ.

1.6.3Трансфер-матрица в диагональном представлении

Составим из собственных векторов матрицу Q = (a1, a2)

Известно, что таким образом сконструированная матрица Q диагонализует матрицу V

()

()

Существование обратной матрицы Q−1 проверяется прямым вычислением.

10