KS_tema_6_edited

сбережений, s, избыточна с точки зрения достижения максимального потребления на единицуэффективного труда, то есть мы имеем дело с ситуацией сверхсберегания, и в этом случае рост нормы сбережения приведет к падению потребления на единицу эффективного

труда в этом случае будет при уменьшении нормы сбережения).

6.1.2 Модель роста Рамсея-Касса-Купманса

Первым человеком, задавшим вопрос о том, какой должна быть оптимальная норма сбережения в экономике, был Фрэнк Рамсей (1928), экономист из Кэмбриджа, ученик Кейнса, рано ушедший из жизни, но оставивший после себя заметный вклад в развитии экономической теории. Его статья «A mathematical theory of saving» была первой статьей,

посвященной этому вопросу, в которой он дал на него ответ. Но помимо того, что он был экономистом, Рамсей был отличным математиком, и его статья была настолько продвинута в техническом смысле, что экономисты пропустили ее «мимо ушей». Более того, модель Рамсея 1928 года более продвинутая, чем модель Солоу 1958 года, поскольку она эндогенизирует норму сбережения, позволяя ей определяться из микроэкономического поведения производителей и потребителей.

Касс и Купманс (аж в 60х годах 20го века!!!) лишь модифицировали модель Рамсея,

введя в модель экзогенно заданные темпы роста населения и технологического прогресса и специфицировав производственную функцию с технологическим прогрессом нейтральным по Харроду, решив ее современными методами динамической оптимизации.

Рамсей решил задачу так называемого социального планирования, не рассматривая равновесные цены, то есть нашел оптимум в экономике на общем ресурсном ограничении,

иначе говоря оптимум по Парето. Касс и Купманс решили эту же задачу для децентрализованной экономики, то есть нашли конкурентное (вальрасовское) равновесие.

Как оказалось, в этой экономике выполняются первая и вторая теорема благосостояния, и

решение по Парето совпадает с решением по Вальрасу.

Мы с вами решим задачу социального планирования, рассмотренную Рамсеем. В

общем смысле экономика в этой модели мало отличается от модели Солоу (уравнение движения капитала для экономики в целом – такое же), только агенты заинтересованы в

максимизации не потребления на единицу эффективного труда, а в максимизации дисконтированного потока полезностей от потребления в каждом периоде.

Задача социального планирования (где - коэффициент дисконтирования полезности во времени, который включает темп роста населения n) в этой модели принимает вид:

U (ct )e t dt max

0

kt f (kt ) ct (n )kt

Эта задача решается с помощью метода максимизации Понтрягина (Методы решения такого типа оптимизационных задач смотрите в теме 9 этого пособия). Запишем Гамильтониан текущего значения целевой функции:

H U (ct ) t ( f (kt ) ct (n )kt ) max

Условия первого порядка дают

H U (ct ) t 0c

H t t t ( f (kt ) (n ))k

H kt f (kt ) ct (n )kt

U (ct )ct U (ct ) U (ct )( f (kt ) (n ))

или после перегруппировки слагаемых:

ct U (ct ) ( f (kt ) (n ) ) ,

U (ct )

что являет собой уравнение Эйлера или правило Кейнса-Рамсея.

межвременного замещения потребления (CES), правило Кейнса-Рамсея упрощается до

В итоге, решением этой задачи межвременной оптимизации является система из двух дифференциальных уравнений: уравнения движения капитала (ресурсного ограничения) и

уравнения движения потребления (уравнения Эйлера)

Для нахождения устойчивого состояния в этой модели нужно найти стационарную точкузаписанной выше системы дифференциальных уравнений.

Отсюда получаем, что уровень капиталовооруженности, соответствующий устойчивому состоянию определяется из уравнения:

f (kGU* ) (n ) ,

что, заметьте, не есть золотое правило (в случае нулевого экзогенного роста технологий g 0 ):

f (kG* ) n .

Устойчивый уровень капиталовооруженности в модели Рамсея, доставляющий максимальный уровень полезности от потребления, можно, в отличие от устойчивого уровня, доставляющего максимум потребления в модели Солоу, назвать уровнем капиталовооруженности, соответствующим правилу«золотой полезности».

Очевидно, что из-за того, что в модели Солоу не учитывается дисконтирование полезности от потребления во времени, а вместо этого максимизируется абсолютная величина потребления на душу населения, уровень потребления в последующие за первым годом оказывается переоценённым социальным планировщиком и уровень накоплений

(сбережений) с его точки зрения получается выше, чем с точки зрения максимизирующих полезность домашних хозяйств, что, очевидно, приводит, к тому, что уровень капиталовооруженности при «золотом правиле» выше уровня капиталовооруженности при правиле «золотой полезности». Таким образом, по Солоу мы сберегаем лишнее. Эта

экономическая интуиция подтверждается математически. Так как функция f (k) строго

убывающая, то

f (kGU* ) (n ) f (kG* ) n

kGU* kG* .

Устойчивое состояние в модели Рамсея легко изобразить на фазовой диаграмме (см. Рис.

6.6):

Рис. 6.6. Фазовая диаграмма модели Рамсея. Графический поиск устойчивого состояния, соответствующего «золотому правилу» и правилу «золотой полезности».

Основные понятия Раздела 6.1

Неоклассические модели экономического роста: технологии с возможностью взаимозвмены факторов производства.

Производственные функции с постоянной отдачей от расширения масштаба.

Формальные свойства и экономическая интерпретация.

Постоянный объем трудовых ресурсов: стационарные (равновесные) траектории развития.

Условие Солоу.

Основные факторы, определяющие капиталовооруженность труда на стационарной траектории.

Учет роста населения.

Технологический прогресс.

Нейтральный технологический прогресс.

Виды нейтрального технологического прогресса.

Полная модель Солоу. Золотое правило накопления.

Правило Кейнса-Рамсея

Правило «золотой полезности»

Теория сбалансированного роста.

Устойчивое состояние.

Экзогенный и эндогенный экономический рост.

Эндогенная и экзогенная норма сбережения.

Вопросы для обсуждения

1.Обсудите свойства производственной функции в модели Солоу.

2.Постройте модель Солоу в упрощенной постановке: при неизменном населении и

занятости и без учета технологического прогресса.

-Постройте графически решение модели Солоу. Укажите капиталовооруженность труда,

соответствующее стационарной траектории экономики.

-Покажите, что такое состояние устойчиво.

-Введите понятие технологического прогресса - содержательно и графически. Что такое

"эффективный труд"? Как поменяется смысл понятия критических инвестиций?

5. Сформулируйте Золотое правило накопления.

-Дайте алгебраическое и геометрическое решение задачи максимизации потребления в долгосрочной перспективе.

-Почему, как правило, экономические системы не развиваются согласно Золотому правилунакопления?

Задачи

1. Пусть производственная функция экономической системы имеет вид Y=K1/3(AL)2/3, =0.03, s=0.1, l=0.01, g=0.02. Определите уровень капиталовооруженности и относительного дохода,

рассчитанные с использованием эффективного труда, соответствующие стационарной траектории. Каковы темпы прироста дохода, капитала? Каковы темпы прироста капиталовооруженности живого труда и душевого дохода? Чему равны критические инвестиции на одного эффективного занятого.

Пусть в текущий момент времени капиталовооруженность эффективного труда равна 2.

Чемуравен объем инвестиций на единицуэффективного труда?

Пусть объем живого труда в момент T составляет 100 ед., а эффективный труд измеряется в единицах эффективного труда 10-летней давности. Чему равен доход, объем капитала и инвестиции при условии, что экономическая система достигла своей стационарной траектории?

Каковы будут норма сбережения и уровень капиталовооруженности эффективного труда при достижении стационарной траектории, соответствующей золотомуправилунакопления?

2. На стационарной траектории в модели Солоу выполняются следующие условия (лишь

одно из приведенных ниже утверждений является неправильным; укажите его):

А) основной капитал и совокупный доход увеличиваются одинаковым темпом Б) достигнутые уровни душевого дохода не зависят от нормы сбережений в совокупном доходе

В) темп прироста экономики равен сумме темпа технологического прогресса и темпа прироста населения

Г) предельная производительность капитала неизменна, а предельная производительность труда возрастает темпом равным темпутехнологического прогресса.

3*. Пусть мир состоит из двух регионов: Восток и Запад. Выпуск и прирост капитала в

это доля Западной (Восточной) рабочей силы, вовлеченной в сферу НИОКР. Остальные обозначения стандартные, как на лекции и в учебнике. Также, LЗ и LВ предполагаются постоянными.

1)Найдите долгосрочный темп прироста выпуска на душунаселения на Западе.

2)Пусть Z AВ / AЗ - соотношение уровней технологий в двух регионах мира. Найдите зависимость Z от Z и параметров модели. Является ли соотношение Z стабильным?

Если да, то к чемуоно сходится? Чемуравен долгосрочный темп прироста выпуска на душунаселения на Востоке?

3)Пусть LЗ LВ , sЗ sВ . Каково отношение выпуска на душу населения на Востоке к выпуску на душу населения на Западе, когда обе экономики находятся на траектории сбалансированного роста?

4.Пусть в экономике, описываемой непрерывной во времени модели Солоу, учитывающей рост населения и накопленных знаний, находящейся в равновесии, в некий момент t0

происходит мгновенный рост нормы накопления с s1 до s2. Проследите процесс изменения во времени темпов прироста переменных модели, записанных в интенсивной форме (то есть y=Y/AL, k=K/AL, c=C/AL), и процесс изменения во времени величин капитала и потребления в интенсивной форме.

Постройте графики изменения указанных параметров во времени, строго обосновывая вид перехода из одного состояния в другое. Дайте экономическую интерпретацию.

5. Ключевым предположением модели Солоу, написанной в 1956 году, является постоянная норма накопления. Однако, в модели Рамсея, написанной в 1928 году, норма накопления определяется эндогенно. Вместо максимизации потребления каждый момент времени,

предполагается рассматривать максимизацию функции полезности бесконечно долго