Билеты по теории вероятности

1 - Определение случайного события, операции над событиями, совместные(несовместные) события

Ω = {ω} – множество элементарных исходов. А ⊂ Ω [А - случайное событие]

А + В – сумма событий[произошло хотя бы одно]

А * В – произведение событий [оба произошли]

А и В несовместные события, если. А* В = Ø

А–В – разность событий [А да, В нет]

Ā = Ω - А – противоположное событие

[Ā проиходит когда А не происходит]

События А₁, А₂, …,А_n называются попарно несовместимыми, если А_i * А_j = Ø, i ≠ j

События А₁, А₂, .., А_n несовместные в совокупности,если А₁ * А₂ *…* А_n =

2 Свойства операций

Свойства противоположного события

1. = А 2. А+Ā = Ω 3. А * Ā = 4.= 5. = Ω

= * ; = +

5 Определение условной вероятности и ее свойства

Р(А/В)=Р(В); А не зависит от В. если Р(А/В)=Р(А).

!Если А не зависит от В , то В не зависит от А, А не зависит от, не зависит от В, не зависит от .

Свойства: те же, что и теоремы вероятности(см. билет 4)

6 Теорема умножения

Р(АВ)=Р(А) Р(В/А);

Р(А₁А₂…А_n)=P(A₁)P(A₂/A₁) P(A₃/A₁A₂)…P(A_n/A₁A₂…A_n-1) – общая

4 Аксиоматическое определение вероятности. Следствия из определения.

(А. Н. Колмогоров). Вероятностью случайного события А называется числовая функция, заданная на множестве Ã (где Ã- алгебра случайных событий удовлетворяющая следующим аксиомам:

Аксиома неотрицательности: Р(А)0.

Аксиома нормировки: Р()=1.

Аксиома аддитивности: Р(А+В)=Р(А)+Р(В), если события А и В несовместны, т.е. А*В=ᴓ.

Дополнительная аксиома для бесконечной последовательности наблюдаемых событий: Р()= , где события А₁,…,А_n- попарно несовместны, т.е. А_i A_j=ᴓ (i

Тройку (, Ã, р) называют вероятностным пространством.

Основные теоремы

1)Р(=1-Р(А); 2) Р(ᴓ)=0; 3)если А В, то р(А)≤р(В)0≤ р(А)≤1;

4)если события А₁, А₂, …, А_n –попарно несовместны, т.е. А_i *A _j=ᴓ (i;

то Р(А₁+А₂+…+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n);

5)Теорема сложения для совместных событий:

а) Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ);

b Формула для двух: P(A+B) = P(A) + P(B) –P(AB) (1)Вывод: A+B+C = (P(A)+P(B)-P(AB) )+ C (по ф-ле 1, A+B берем за А) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC)

10 число элементов конечное или счётное : Ω= {ῳ₁,ῳ_2, ..., ῳ_n, …}Если каждому элементарному исходу ставится в соответствие число, т.е. имеем числовую функцию на множестве Ω,то говорят, что задана случайная величина.

Эту функцию будем обозначать X.

Значение функции X(ῳ )= x-число.

Множество значений дискретной случайной величины X- будет конечным или счётным.

Закон распределения дискретной случайной величины X- это ряд распределения

x_1x_2… x_n …

p_i =p{ X =x_i } (p_i – вероятность случайного события: « Случайная величина X принимает

Заметим, что I = 1

Функцией распределения случайной величины Х называется числовая функция , которую обозначают F( х ), равную вероятности события { X x ),т.е. F ( х )=P { X  x }.

Функция распределения вычисляет вероятность попадания слева от точки х.

Для дискретной случайной величины функция распределения задаётся следующей формулой:

F( х ) ==

Свойства функции распределения

Область определения: D( F )=(-∞; +∞ ).

Множество значений : E(F )= [ 0, 1].

Монотонность : F( х )- неубывающая функции ,т.е.если х ₁х₂ ,то F ( х₁₎ ≤F( х₂)

Непрерывность : В точка х_i – функция имеет разрыв справа  рода, при этом F (х_{i +}0) –F ( x_i- 0) =p_i ( предел справа минус предел слева равен p_i= P{ X =x_i})

3 Определение алгебры случайных событий. Следствия из определений

Множество Ã случайных событий, порожденных множеством Ω, называется алгеброй случайных событий, если выполнены условия:

1. Ω ⋲ Ã

2. Если А, В ⋲ А, то А+В ⋲ Ã, АВ ⋲ Ã

3. Если А ⋲ Ã то ⋲ Ã [множество замкнуто относительно основных операций]

1. Доказать: А ⋲ Алгебре, B ⋲ Алгебре => А*В ⋲ алгебре

Доказательство: A*B влечет А, A*B влечет B => А*В ⋲ алгебре

2. Доказать: А ⋲ Алгебре, В ⋲ Алгебре => А-В ⋲ алгебре.

Доказательство: А-В=А* => см 1

3. Доказать: ⋲ Алгебре

Доказательство:Ω ⋲ Алгебре, ⋲ Алгебре если А ⋲ Алгебре => ⋲ Алгебре => ⋲ Алгебре

18 Определение моды, медианы и квантили порядка «р». Число χ_p называется квантилью порядка р, если F(x_p)=p или P{χ<x_p}=p

Медиана – квантиль порядка 0.5

Мода – точка максимума f(x)

7 Независимые события и их свойства

А не зависит от В, если Р(А/В)=Р(А) при Р(В)≠ 0 А и В независимы тогда, когда р(АВ)=р(А)*р(В) если А₁, А₂,…,A_n независимы в совокупности, то:

Р(А₁ А₂ …А_n)=P(A₁) P(A₂) …P(A_n).

Если А и В независимые события, то они обязательно совместные, т.к. Р(АВ)

Теорема о сумме совместных, но независимых в совокупности событий.

Р(А₁+А₂+…+А_n)=1-p( P() … P(

Дано: P(A)*P(B)=P(A*B)

Доказать: P(A)*P() = P(A*)

P()*P(B) = P(*B)

P()* P() =P( *)

Доказательство:

1. P(A)*P() = - P(A) *P(B) + P(A) = P(A) – P(A)*P(B) = P(A*), чтд

2. аналогично 1

3. P()* P() = 1 – P(A) – P(B) + P(AB)= 1- P(A+B), след. по теореме о сумме совместных независимых событий P()* P() =P( *)

8 Пусть H₁, H₂,…,H_n – наблюдаемые события для данного эксперимента, при чем они попарно несовместны (H_i*H_j=ᴓ) и образуют полную группу событий (H₁+H₂+…+H_n= Ω).

Для любого наблюдаемого в эксперименте события A имеет место следующая формула полной вероятности: 

События H₁, H₂,…, H_n принято называть гипотезами. Безусловные вероятности P(H_i), где i =1,.. ,n трактуются как доопытные (априорные) вероятности гипотез. 

Замечание: Формулу полной вероятности используют в условиях неопределенности, т.е. когда неизвестно, какая из гипотез H_i реализовалась. 

Если событие A реализовалось, то послеопытные (апостериорные) вероятности гипотез определяются по формулам Байеса:     P() =  , i= ; = 1

9 1)Пусть проводится «n» независимых испытаний ( опытов).

2)В каждом опыте возможны только два исхода: А (успех ) или ( неудача).

3)Р(А)=р; Р=q=1-р.

4)Вероятность появления события А:

Р_n(к)= С_n^k*p^k*q^n-k, (к=0, 1, 2, …, n).

Вероятности Р_n(к) называются биномиальнымии при этом справедливы формулы:

1. Р_n(0)+ P_n(1) +…+P_n(n)=1.

2. Вероятность того, что А появится хотя бы один раз:

P_n(1) +…+P_n(n)=1- qⁿ.

3.Вероятность того, что А появится не менее «m» раз: P_n(m)+ P_n(m+1)+…+P_n(n)==1-

4.Вероятность того, что А появится не более «m» раз: Р_n(0)+ P_n(1) +…+P_n(m)=(k) =1-(k).

n*p – q ≤k₀≤n*p+p. – ф-ла наивероятнейшего

13 Числовые характеристики непрерывной случайной величины

1. M[X]= [математическое ожидание D[X]=M[X²]-m_x² [дисперсия]

D[X]=m_x)²•f(x)dx

-среднее квадратическое отклонение Начальные моменты «к^го» порядка

_к=M[X^к]=^к•f(x)dx

«к^го» порядка

_к=M[(X-m_X)^к]= f(x)dx

14 Свойства математического ожидания

1. M[C] =С, ( С- константа)Место для формулы.

2. М[АX+ C] =АM[X] + C

3.M[АX +BY+C] =AM[x] +BM[Y] +C, (Х., Y-случайные величины; A, B- числа; С – константа)

4.Если X и Y независимые случайные величины, т.е. для любых х,y верно: P{(X<x)(Y<y)} = P{X<x}P{Y<y}. то M[XY] = M[X]*M[Y]

5. Если Y=A(X) (Y функция случайной величины X),то M[Y]=∑A(хi)*Pi (M[x²] = ∑ х²i*Pi )

Используя свойства математического ожидания, можно получить формулу для вычисления D[X] = M[(X- m_x)²] = M[X²- 2*m_x*X +(m_x)²] = M[X²]-2*m_x*M[X] + (m_x)² = M[X²]-(m_x)²

15 Свойства дисперсии и среднеквадратичного отклонения.

D[X] =M[X²] –m²[x] Заметим: ∑ х_i²p_i= M[X²]

Свойства дисперсии и СКО

16 Основные дискретные распределения (способы задания и числовые характеристики):

1)биномиальное 2)распределение Пуассона 3)геометрическое распределение.

Биномиальное распределение

Х –число появлений события А в «n» независимых испытаниях Бернулли

P{X=k}= P_n(к)=C_n^kp^k*q^n-k, к=0,1,…,n

M[X]= n*p, D[X]=npq, [X]=

Распределение Пуассона

Случайная величина Х распределена по закону Пуассона с параметром , если P_k=P{X=k}=()^k/k!*e^-, к=0,1,2,…,n,…

Т.к. имеем счётное множество значений, то числовой ряд ∑p_к=1 (числовой ряд сходится и сумма ряда равна 1)

M[X]==D[X]=; [X]=

Распределение Пуассона является предельным для биномиального: Pn(k)^k/k!*e^- n,где =n*p

Геометрическое распределение

Пусть в одном опыте событие А появляется с вероятностью р ,т. е. Р(А)=р, Р(Ā)= 1-р=q

Опыты проводятся до первого появления события А.

Х – число опытов. р_к=Р{X=k}=q^k-1p, к=1,.2,.3.,…,n,…

Заметим, что выполнено условие: ∑р_к =1 ( числовой ряд сходится и его сумма равна 1 )

М[X]=1/p, D[X]=q/p²

11 Числовые характеристики дискретной случайной величины

1)Математическое ожидание определяет средне статистическое значение случайной величины или центр распределения вычисляют по формуле: m_x=M[ X ] = ∑ х_i*p_i ( В случае бесконечного числа значений случайной величины числовой ряд должен сходится ).

2)Дисперсия случайной величины (определяет меру рассеяния относительно центра распределения ) вычисляется по формуле:

D [Х] =M[ ( X – m_x)²] D[ X ]=∑ ( х_i – m_x )²*p_i

3) Среднее квадратичное отклонение _х =[ x] =

4)Начальные моменты «к» го порядка _к =М[ X ^k ]=∑х_i^k _*p_i ₁= M[X ].

5) Центральные моменты «к» го порядка _к =M[(Х –m_x)^k] ,₁=0, ₂= D[x]

12 Непрерывная случайная величина. Свойства функции плотности. Функция распределения непр. сл. в. и ее свойства

Если множество значений случайной величины Х есть некоторый интервал или объединение интервалов числовой оси, то говорят о непрерывной случайной величине.

1)f(x)0 2)p=

Основное свойство функции плотности

Функция распределения непрерывной случайной величины

F(x)=P{X<x}= P{-∞<X<x}=

F`(x)=f(x)

Заметим, что p{= вероятность попадания в интервал численно равна площади криволинейной трапеции под кривой f(x).

Основные свойства функции распределения F(x) непрерывной случайной величины.

1.Область определения D(F)=(-)

2.Множество значений E(F)=[0;1] или (0;1), при этом

3.Монотонность: Неубывающая: т.е. если x₁>x₂, F(x₁)F(x₂) [нет точек extr]

4.Непрерывная функция

5.Для вычисления вероятности попадания в интервал справедливы следующие формулы:

P{X<} = F(

P{X} = 1 - F(

P{} = P{} = P{} = P{ = F( F()

17 Основные непрерывные распределения (способы задания и числовые характеристики)

1)равномерное распределение на отрезке,

2)показательное распределение,

3)нормальное распределение.

1. Равномерное распределение на отрезке.R[a;b]

Случайная величина Х называется равномерно распределённой на отрезке [a;b], если её функция плотности задаётся формулой 

f(x)= F(x)=функция распределения

M[X]=; D[X]=; _X=

2. Показательное распределение с параметром а

X распределена по показательному закону с параметром а, если функция плотности задаётся формулой: f(x)=

F(x)=

M[χ]=1/a; D[χ]=1/a²; σ_x=1/a

3) Нормальное распределение (закон Гаусса) с параметрами m, σ (обозначается:

N (m, σ) M[χ]=m; D[χ]= σ²

Случайная величина χ распределена нормально с параметрами m, σ, если функция плотности задается формулой

f(x)=*

Если m=0, σ=1, то имеем стандартизированную случайную величину. Функция плотности: (x)=

[есть таблица значений этой функции]

Функция распределения

F(x)=

Чтобы найти значения функции распределения используют таблицу значений функции Лапласа

Ф(x)=

Ф(-x)=- Ф(x) Ф(х)=1/2

F(x)=0,5+Ф((x-m)/σ)

Основные формулы для вычисления вероятностей попадания в интервалы

1. Р{χ<α}=0,5+Ф((α-m)/σ) 2. P{χ>β}=0,5- Ф((β-m)/σ) 3. P{α<χ<β}=Ф((β-m)/σ)-Ф((α-m)/σ) 4. P{|χ-m_x|<ε}=2Ф(ε/σ)

5. P{|χ-m_x|<kσ}=2Ф(k) В частности: Правило “3σ”: P{|χ-m_x|<3σ}=2Ф(3)=0,9973

19 Функция одномерной случайной величины. Законы распределения для дискретной и непрерывной случайной величины.

Пусть – дискретная случайная величина, заданная рядом распределения:

Пусть – неслучайная функция:

(каждому возможному значению случайной величины ставится в соответствии одно значение случайной величины ).

Все значения случайной величины вычисляем по формуле: ,

при этом

так как

Если строго убывает, то

Если функция имеет интервалы монотонности, то если , то в таблице заносим одно значение, а соответствующие вероятности складываются.

Если непрерывная случайная величина , причем монотонно возрастающая непрерывно дифференцируемая функция, то – тоже непрерывная случайная величина.

Если – распределения случайной величины, то

( – функция обратная для функции )

Таким образом, если функция плотности с.в. , то

(1)

Если строго убывает, то

(2)

Объединив (1) и (2) получаем:

если строго монотонная функция, то для нахождения функции плотности с.в. используем формулу:

где

Если – функция не монотонна, то разбиваем множество возможных значений на интервалы монотонности , , … , и на каждом интервале находим обратную функцию , то где плотность случайной величины : определяется в виде суммы: Полезная информация

Если имеет функцию плотности , а , то закон распределения с.в. не меняется и при этом:

При решении задач на нахождение плотности можно придерживаться следующей схемы.

Дано

Найти

1. Строим график Пусть строго монотонна Находим: (область определения с учетом значения с.в. ) – множество значений 2. Находим обратную функцию 3. Вычисляем , 4. где