Оценивание модели ma(q)

При оценивании моделей с MA(q) составляющей (q > 0) существенным оказывается условие обратимости, сформулированное ранее. Покажем это на примере MA(1) модели

X_t –  = ε_t + bε_t–1 , t = 1, … , T .

Имея наблюдаемые значения x₁, x₂, … , x_T , мы последовательно выражаем ε₁, ε₂, … , ε_T через эти значения и (ненаблюдаемое) значение ε₀ :

ε₁ = X₁ –  – bε₀,

ε₂ = X₂ –  – bε₁ = X₂ –  – b(X₁ –  – bε₀) = (X₂ – ) – b(X₁ – ) + b² ε₀,

…

ε_T = X_T –  – bε_{T – 1} = (X_T – ) – b(X_{T – 1}– ) + b²(X_{T – 2}– ) – … +

+(–1)^{T – 1} b ^{T – 1} (X₁ – ) + (–1)^T b ^T ε₀ .

Максимизация (по b) условной функции правдоподобия, соответствующей наблюдаемым значениям x₁, x₂,…, x_T при фиксированном значении ε₀, равносильна минимизации суммы квадратов

Q(b) = ε₁² + ε₂² + … + ε_T² ,

которая является нелинейной функцией от b . Для поиска минимума этой суммы квадратов приходится использовать численные итерационные методы оптимизации, которые, в свою очередь, требуют задания начального (“стартового”) значения параметра b. Как мы уже говорили, такое стартовое значение может быть получено на этапе идентификации модели. Однако полученное в итоге итераций “оптимальное” значение b зависит от неизвестного нам значения ε₀, что затрудняет интерпретацию результатов. Задача интерпретации облегчается, если выполнено условие обратимости ‌, и при этом значение существенно меньше 1.

Действительно, при выполнении этого условия можно просто положить ε₀ = 0 . Эффект от такой замены истинного значения ε₀ на нулевое быстро убывает, так что сумма квадратов, получаемая в предположении ε₀ = 0, может служить хорошей аппроксимацией для суммы, получаемой при истинном значении ε₀ , при достаточно большом количестве наблюдений. Те же аргументы пригодны и для модели MA(q) с q > 1 : в этом случае можно положить ε₀ = ε_–1 = … == 0 .

Если в результате оценивания получена модель, в которой условие обратимости не выполняется, рекомендуется повторить процедуру оценивания с использованием другого набора начальных значений. В случае модели MA(1) можно в качестве начального взять значение, обратное значению, приведшему к необратимой модели.

Для получения более точной аппроксимации, в пакетах статистических программ (в том числе и в EVIEWS) предусмотрена процедура (backcasting), в которой процесс итераций включает в себя также оценивание значений ε₀ , ε_–1 , … , путем построения для них “обратного прогноза”. В модели MA(1) для этого выбираются начальные значения b и  , полагается ε_T+1 = 0 и используется соотношение

ε_t–1 = ,

которое применяется последовательно для t = T, T – 1, … , 1. Полученное в итоге значение используется затем в качестве начального для основной процедуры оценивания.

Оценивание модели ARMA(p,q)

Из соотношения

y_t = a₀ + a₁ y_{t – 1} + … + a_p y_{t – p} + ε_t +b₁ ε_{t – 1} + … + b _q ε_{t – q}

получаем:

ε_t = y_t – a₀ – a₁ y_{t – 1} – … – a_p y_{t – p} – b₁ ε_{t – 1} – … – b _q ε_{t – q} .

Задавшись начальными оценками коэффициентов , и полагая ε₀ = ε_–1 = … == 0, последовательно вычисляем приближения для значений , а затем минимизируем по , сумму квадратов этих приближений. Для улучшения качества аппроксимации и здесь можно сначала применять процедуру обратного прогноза.

• Указанная методика предполагает обратимость ARMA модели.

Если в результате оценивания получена модель, в которой условие обратимости не выполняется, рекомендуется повторить процедуру оценивания с использованием другого набора начальных значений.

Более подробное изложение процедур оценивания стационарных ARMA моделей методом максимального правдоподобия можно найти, например, в [Hamilton (1994), Chapter 5, p.117–151]. Там же можно прочитать о том, каким образом вычисляются приближения для стандартных ошибок оценок коэффициентов этих моделей, которые можно использовать при большом количестве наблюдений обычным образом.