- •1. Построение интервального вариационного ряда распределения
- •2. Вычисление выборочных характеристик распределения (непосредственно)
- •Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии
- •3 Графическое изображение вариационных рядов.
- •4. Расчет теоретической нормальной кривой распределения.
- •5. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии
Если выборка задана в виде равностоящих вариант и соответствующих им частот, тот удобно находить выборочную среднюю и дисперсию методом произведений по формулам ,, гдеh-шаг (разность между двумя соседними вариантами), С—ложный нуль (варианта, которая расположена примерно в середине вариационного ряда); --условная варианта;-условный момент первого порядка,-условный момент второго порядка.
Если первоначальные варианты не являются равностоящими, то интервал, в котором заключены все варианты выборки, делят на несколько равных, длины h, частичных интервалов (каждый частичный интервал должен содержать не менее 8-10 вариант). Затем находят середины частичных интервалов, которые образуют последовательность равностоящих вариант. В качестве частоты каждой середины интервала принимают сумму частот вариант, которые попали в соответствующий частичный интервал.
При вычислении выборочной дисперсии для уменьшения ошибки, вызванной группировкой (особенно при малом числе интервалов), делают поправку Шеппарда, а именно вычитают 1/12 квадрата длины частичного интервала. Таким образом с учетом поправки Шеппарда дисперсию вычисляют по формуле
.
Возьмем шаг h=0,205. Отрезок [5.03,5.85] разобьем на 4 интервала.
|
|
|
|
|
| |
[5.03,5.24] |
5.14 |
10 |
-2 |
-20 |
40 |
10 |
[5.24,5.44] |
5.34 |
41 |
-1 |
-41 |
41 |
0 |
[5.44,5.65] |
5.55=C |
39 |
0 |
A1=-61 |
0 |
39 |
[5.65,5.85] |
5.75 |
10 |
1 |
10 |
10 |
40 |
|
|
|
|
A2=10 |
|
|
сумма |
|
100 |
|
-51 |
91 |
89 |
Для контроля вычислений пользуются тождеством
Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений.
Вычислим условные моменты первого и второго порядков.
Метод сумм вычисления выборочных средней и дисперсии
При использовании метода сумм условные моменты первого и второго порядков находят по формулам: ,, где. Таким образом, в конечном счете, надо вычислить числа
| |||
5.14 |
10 |
10 |
10 |
5.34 |
41 |
51 |
0 |
5.55=C |
39 |
0 |
0 |
5.75 |
10 |
10 |
0 |
|
100 |
Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения. ..,-центральный эмпирические моменты третьего и четвертого порядка..Эти моменты в случае равностоящих вариант с шагомh (шаг равен разности между двумя соседними вариантами) удобно вычислять по формулам: , где -условный моментk-ого порядка, -условная варианта. Итак, для отыскания асимметрии и эксцесса необходимо найти условные моменты, что можно сделать методом сумм или методом произведений.
|
|
|
|
|
|
|
| |
[5.03,5.24] |
5.14 |
10 |
-2 |
-20 |
40 |
-80 |
160 |
10 |
[5.24,5.44] |
5.34 |
41 |
-1 |
-41 |
41 |
-41 |
41 |
0 |
[5.44,5.65] |
5.55=C |
39 |
0 |
A1=-61 |
0 |
-121 |
0 |
39 |
[5.65,5.85] |
5.75 |
10 |
1 |
10 |
10 |
10 |
10 |
160 |
|
|
|
|
A2=10 |
|
10 |
|
|
сумма |
|
100 |
|
-51 |
91 |
-111 |
211 |
209 |
Или
| |||||
5.14 |
10 |
10 |
10 |
0 |
0 |
5.34 |
41 |
51 |
0 |
0 |
0 |
5.55=C |
39 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5.75 |
10 |
10 |
0 |
0 |
0 |
|
100 |
Медиана -значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений (n=2l-1). При четном числе наблюдений (n=2l) медианой является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда:.
Если ранжировать значения, попавшие в медианный интервал [5,41;5,52], интервал, в котором накопленная частота впервые превышает половину объема выборки, -до значенийи, получим
Следовательно,
Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по формуле
, где означает номер медианного интервала,-интервала, предшествующего медианному.
В нашем примере млн.руб.
Мода для совокупности наблюдений равна тому значению признака (табл.1.1.), которому соответствует наибольшая частота. У нас вариант 5,43 имеет наибольшую частоту (). Это означает, чтомлн.руб.Для одномерного интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле:
где Мо означает номер модального интервала (интервала с наибольшей частотой), и- номера соответствующего модальному и следующего за ним интервалов.
В нашем примере
млн. руб. Так как почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.
Коэффициент вариации