Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии

Если выборка задана в виде равностоящих вариант и соответствующих им частот, тот удобно находить выборочную среднюю и дисперсию методом произведений по формулам ,, гдеh-шаг (разность между двумя соседними вариантами), С—ложный нуль (варианта, которая расположена примерно в середине вариационного ряда); --условная варианта;-условный момент первого порядка,-условный момент второго порядка.

Если первоначальные варианты не являются равностоящими, то интервал, в котором заключены все варианты выборки, делят на несколько равных, длины h, частичных интервалов (каждый частичный интервал должен содержать не менее 8-10 вариант). Затем находят середины частичных интервалов, которые образуют последовательность равностоящих вариант. В качестве частоты каждой середины интервала принимают сумму частот вариант, которые попали в соответствующий частичный интервал.

При вычислении выборочной дисперсии для уменьшения ошибки, вызванной группировкой (особенно при малом числе интервалов), делают поправку Шеппарда, а именно вычитают 1/12 квадрата длины частичного интервала. Таким образом с учетом поправки Шеппарда дисперсию вычисляют по формуле

.

Возьмем шаг h=0,205. Отрезок [5.03,5.85] разобьем на 4 интервала.

[5.03,5.24]	5.14	10	-2	-20	40	10
[5.24,5.44]	5.34	41	-1	-41	41	0
[5.44,5.65]	5.55=C	39	0	A1=-61	0	39
[5.65,5.85]	5.75	10	1	10	10	40
				A2=10
сумма		100		-51	91	89

Для контроля вычислений пользуются тождеством

Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений.

Вычислим условные моменты первого и второго порядков.

Метод сумм вычисления выборочных средней и дисперсии

При использовании метода сумм условные моменты первого и второго порядков находят по формулам: ,, где. Таким образом, в конечном счете, надо вычислить числа

5.14	10	10	10
5.34	41	51	0
5.55=C	39	0	0
5.75	10	10	0
	100

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения. ..,-центральный эмпирические моменты третьего и четвертого порядка..Эти моменты в случае равностоящих вариант с шагомh (шаг равен разности между двумя соседними вариантами) удобно вычислять по формулам: , где -условный моментk-ого порядка, -условная варианта. Итак, для отыскания асимметрии и эксцесса необходимо найти условные моменты, что можно сделать методом сумм или методом произведений.

[5.03,5.24]	5.14	10	-2	-20	40	-80	160	10
[5.24,5.44]	5.34	41	-1	-41	41	-41	41	0
[5.44,5.65]	5.55=C	39	0	A1=-61	0	-121	0	39
[5.65,5.85]	5.75	10	1	10	10	10	10	160
				A2=10		10
сумма		100		-51	91	-111	211	209

Или

5.14	10	10	10	0	0
5.34	41	51	0	0	0
5.55=C	39	0	0	0	0
5.75	10	10	0	0	0
	100

Медиана -значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений (n=2l-1). При четном числе наблюдений (n=2l) медианой является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда:.

Если ранжировать значения, попавшие в медианный интервал [5,41;5,52], интервал, в котором накопленная частота впервые превышает половину объема выборки, -до значенийи, получим

Следовательно,

Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по формуле

, где означает номер медианного интервала,-интервала, предшествующего медианному.

В нашем примере млн.руб.

Мода для совокупности наблюдений равна тому значению признака (табл.1.1.), которому соответствует наибольшая частота. У нас вариант 5,43 имеет наибольшую частоту (). Это означает, чтомлн.руб.Для одномерного интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле:

где Мо означает номер модального интервала (интервала с наибольшей частотой), и- номера соответствующего модальному и следующего за ним интервалов.

В нашем примере

млн. руб. Так как почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.

Коэффициент вариации