однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трѐх формах:

где e – основание натурального логарифма. Напомним, что число,

называется сопряженным комплексным числом числа A.

При анализе сложных цепей переменного тока большой интерес представляет сопоставление величин токов и напряжений по амплитуде и фазе. Удобнее всего это делать с помощью комплексных чисел. В случае представления синусоидальных величин комплексными числами можно применить весьма эффективный комплексный метод анализа цепей синусоидального тока, который в настоящее время нашел широкое применение.

3.3. Элементы электрических цепей переменного тока

Зависимости между токами и напряжениями резистивных, индуктивных и емкостных элементов определяются происходящими в них физическими процессами. Математическое описание физических явлений для каждого из этих элементов зависит от выбранного способа представления синусоидальных величин.

А. Резистивный элемент. Резистор – электротехническое устройство, обладающее сопротивлением R и применяемое для ограничения электрического тока. Активное сопротивление R – идеали-

зированный элемент, в котором происходит преобразование электрической энергии в другие виды энергии, мощность этого элемента называется активной мощностью, которая равна: P = I 2R , измеряется она в ваттах.

24

Пусть R-элемент подключѐн к источнику с синусоидальным напряжением:

u= Um sin (ωt + u).

Схема замещения такого элемента изображена на рис. 16, а. На этом же рисунке представлены его временная (рис. 16, б) и векторная диаграммы (рис. 16, в).

1

Из закона Ома: u = Ri, следовательно, при заданном синусоидальном напряжении ток тоже будет синусоидальным, т. е.

iu U m sin (ωt + ψu) = Im sin (ωt + ψi).

R R

Из этого выражения видно, что ток и напряжение совпадают по фазе и имеют одинаковую частоту.

В комплексном виде:

Здесь Z R – комплексное сопротивление цепи, т. е. комплексное сопротивление резистивного элемента, является положительным действительным числом, равным активному сопротивлению R.

Б. Индуктивный элемент. Индуктивность L – идеализирован-

ный элемент электрической цепи, в котором накапливается энергия магнитного поля.

25

где L – потокосцепление.

Пусть L-элемент подключен к источнику синусоидального

где угол – угол сдвига фаз между током и напряжением.

Таким образом, при синусоидальном токе напряжение на L- элементе также синусоидальное; ток и напряжение изменяются с

одинаковой частотой, причѐм напряжение опережает ток на угол 2 .

Схема замещения L-элемента представлена на рис. 17, а; временная и векторная диаграммы – на рис. 17, б и 17, в.

Следует иметь в виду, что положительным направлением вращения векторов принято считать направление их вращения против часовой стрелки.

26

u

L

u

В комплексном виде сопротивление равно

где xL L 2 fL – индуктивное сопротивление,

Z jxL ,

т. е. комплексное сопротивление L-элемента, является положительным мнимым числом, модуль которого равен x L.

В цепи с L-элементом не совершается работа, а происходит периодический обмен энергией между источником и магнитным полем. Интенсивность этого обмена называется индуктивной реактивной мощностью, которая обозначается QL и равна:

Q L = UL I L = x L I L2 = UL2 / xL.

Для измерения реактивной индуктивной мощности использу-

ется своя единица: вольт-ампер реактивный ( вар).

В. Емкостной элемент. Конденсатор с электрической емко-

стью C – идеализированный элемент электрической цепи, в котором накапливается энергия электрического поля

где q – накопленный заряд, который равен Cu.

27

Пусть С-элемент подключен к источнику синусоидального напряжения

ряемым в Ом).

Таким образом, при синусоидальном напряжении ток также синусоидальный. Ток и напряжение изменяются с одинаковой часто-

той, причем ток опережает напряжение на угол 2 .

Схема замещения C-элемента приведена на рис. 18, а; его временная и векторная диаграммы – на рис. 18, б и 18, в.

u

C

u

28