ЗАДАЧА 3
Задача посвящена расчету трехфазной электрической цепи при соединении фаз симметричного или несимметричного приемника "треугольником" или "звездой".
Рассмотрим расчет таких цепей на следующих примерах. Пример 1. В трехфазную цепь с линейным напряжением Uл =
220 В включен симметричный приемник, соединенный "треугольником", сопротивление каждой фазы которого Z (10 j10) Ом (рис.
3.1).
Найти токи в каждой фазе нагрузки и линии, мощности каждой фазы и всей цепи.
Рис. 3.1
Решение. Расчет токов в трехфазных цепях производится комплексным методом.
1.Записываем значения линейных напряжений, которые будут
равны: ; |
|
U AB |
Uab |
220 B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
UBC |
Ubc |
220 e |
j1200 , где: |
e j1200 |
|
( |
|
1 |
|
j |
|
3 |
) |
|||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
UCA |
Uca |
220 e j1200 , где : |
e j1200 |
( |
|
1 |
|
|
j |
|
3 |
) |
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
В алгебраической форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
Ubc |
110 |
j190 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
UBC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UCA |
Uca |
110 |
j190 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
194 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Определяем фазные токи (рис. 3.1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Iab |
Uab |
|
220 |
|
|
|
11 |
j11; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Z ab |
|
10 |
j10 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
действующее значение тока Iab |
|
112 |
112 |
|
15,5 A . |
|
|
|||||||||||||||
Ibc |
Ubc |
110 |
j190 |
( |
110 |
j190)(10 |
j10) |
|||||||||||||||
|
Z bc |
|
10 |
j10 |
|
|
|
|
|
100 |
|
|
100 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1100 |
j1100 |
j1900 |
1900 |
|
15 |
|
j4; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
действующее значение тока |
|
|
|
|
|
Ibc |
15,5 A |
|
|
|
||||||||||||
Ica |
|
Uca |
|
110 |
j190 |
|
( |
110 |
j190)(10 |
j10) |
|
|||||||||||
|
Z ca |
10 |
j10 |
|
|
|
|
100 |
|
|
100 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1100 |
j1100 |
j1900 |
1900 |
|
4 |
|
j15; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
действующее значение тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ica |
15,5 A . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Определяем линейные токи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
I A |
Iab |
|
Ica |
11 j11 |
4 |
|
j15 |
7 |
|
j26; |
||||||||
|
|
|
|
IB |
Ibc |
|
Iab |
|
15 |
|
j4 |
|
11 j11 |
26 j7; |
||||||||
|
|
|
|
IC |
Ica |
|
Ibc |
4 |
|
j15 |
15 |
j4 |
19 |
|
j19. |
|||||||
Действующие значения линейных токов
IA = 26,9 A; IB = 26,9 A; IC = 26,9 A.
195
4. Для подсчѐта баланса мощностей определяем комплексное значение мощности каждой фазы
*
S ab = U ab I ab = 220(11+j11) = 2420 |
j 2420 , |
P |
Q |
*
где I ab – сопряженное значение комплексного тока.
|
|
Pab = 2420 Вт; |
|
|
Qab = 2420 вар. |
|
* |
|
Sbc |
Ubc I bc |
(–110 – j190) (–15 + j4) = 2420 + j2420; |
|
|
Pbс = 2420 Вт; |
|
|
Qbс = 2420 вар. |
|
* |
|
S ca |
Uca I ca |
(–110 + j190) (4 – j15) = 2420 + j2420; |
|
|
Pса = 2420 Вт; |
|
|
Qса = 2420 вар. |
5. Определяем активную мощность всей цепи
P= Pab + Pbc + Pca = 3Pab =3Pbc = 3Pca = 7620 Вт.
6.Определяем реактивную мощность всей цепи
Q = Qab + Qbc + Qca = 3Qab = 3Qbc = 3Qca = 7620 вар.
Поскольку имеем симметричный приемник, можно было определить активную и реактивную мощности любой фазы и умножением этой мощности на 3, получить мощность всей цепи.
Пример 2. В четырехпроводную трехфазную сеть с линейным напряжением Uл = 220 В включен "звездой" приемник, активные и индуктивные сопротивления фаз которого соответственно равны
Ra = 3 Ом, Xa = 4 Ом; Rb = 3 Ом, Xb = 5,2 Ом; Rc = 4 Ом, Xc = 3 Ом.
196
Определить токи в линейных и нейтральном проводах, а также активные и реактивные мощности фаз и всей цепи.
Решение. |
|
|
|
|
Рис. 3.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Считаем, что вектор фазного напряжения Ua направлен по |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
действительной оси, тогда Ua = Uл / |
|
3 = 127 В; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ub 127e j120o |
63, 5 |
j110, где: e j120o |
( |
1 |
j |
3 |
); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
||||
Uc |
127e j120o |
63, 5 |
|
j110, где: e j120o |
( |
|
j |
|
). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||
1.Записываем комплексные сопротивления каждой фазы |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Za 3 j4; Zb |
3 j5,2; Zc |
4 j3. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. Определяем действующие значения сопротивлений фаз |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Za |
32 |
42 |
5 Ом; Zb |
32 |
5, 22 |
|
|
6 Ом; |
|
|
|
|
|
||||||||||
Zc 
42 32 5 Ом.
3.Определяем фазные токи, они же будут и линейными
Ia |
Ua |
|
127 |
127(3 |
j4) |
15,24 j20,32. |
|
Z a |
|
3 j4 |
|
9 |
16 |
||
|
|
|
|||||
197
Действующее значение тока
|
|
|
|
Ia |
15,242 |
20,322 |
|
25,4 A. |
|
||||||||||
Ib |
Ub |
63,5 |
|
|
j110 |
( |
63,5 |
j110)(3 |
j5,2) |
||||||||||
|
Z b |
|
|
3 |
|
j5,2 |
|
|
|
|
|
9 |
27 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
190,5 |
|
|
j330,2 |
j330 |
572 |
|
21,2 |
j0,005. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Действующее значение тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Ib |
21,22 |
0,0052 |
|
21,2 A ; |
|
||||||||
|
|
Ic |
|
Uc |
63,5 |
j110 |
3,04 |
j25,22 . |
|||||||||||
|
|
|
|
Z c |
|
|
|
|
4 |
j3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Действующее значение тока
Ic |
3,042 25,222 25,4 A. |
4.Определяем ток в нейтральном проводе
I Nn Ia Ib Ic 15, 24 j20,32 21, 2 j0,005 3,04 j25, 22 2,92 j4,9.
Действующее значение тока
|
2,922 4,92 5,704 A. |
|
I Nn |
I Nn |
|
5. Активные и реактивные мощности каждой фазы и всей цепи определяются аналогичным образом, как в примере 1.
Пример 3. В трехфазную цепь с линейным напряжением Uл = 380 В включен "звездой" приемник, активное, индуктивное и емкостное сопротивления фаз которого равны: R = XL = XC = 22 Ом
(рис. 3.3).
198
Рис. 3.3
Определить токи в каждой фазе, активные и реактивные мощности фаз и всей цепи.
Решение. Расчет токов производят комплексным методом. Комплексное сопротивление каждой фазы
|
Za = 22; Zb = –j 22; Zc = +j 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Определяем фазные напряжения генератора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
U A |
380 |
220; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
UB 220e j120O |
110 |
j190, 5, где: e j120O |
( |
1 |
|
j |
3 |
); |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
UC |
220e j120O |
110 |
j190, 5, где: e j120O |
|
( |
1 |
|
|
j |
|
3 |
). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
2. Для того, чтобы найти фазные напряжения приемника, поскольку нагрузка несимметричная, необходимо найти напряжения между нейтральными точками генератора и приемника
U |
|
|
Y |
aU A |
|
Y |
|
bUB |
|
|
Y |
cUC |
, |
|||
Nn |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
Y |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
c |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где Y a ,Y b ,Y c – комплексные значения проводимостей каждой фазы приемника:
199
|
Y |
|
1 |
; |
Y |
b |
1 |
; |
Y |
c |
1 |
. |
|
a |
22 |
j22 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j22 |
|||
|
1 |
|
220 ( |
110 |
j190,5) |
( |
|
1 |
|
|
) ( |
110 j190,5) ( |
1 |
) |
|||||||||||||
22 |
|
|
j22 |
j22 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
U Nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
j22 |
|
|
|
j22 |
|
|
|
|
|
|
|||
10 |
( 110 |
|
j190,5)( |
|
|
1 |
|
) |
( |
110 |
j190,5)( |
1 |
) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j22 |
|
|
|
|
|
|
j22 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,045 |
|
|
|
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
10 |
17,318 |
|
|
27,318 |
|
607,07 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0,045 |
|
|
|
|
0,045 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Действующее значение напряжения на нулевом проводе:
UNn 607,07 В
2. |
Определяем фазные напряжения приемника |
|
|||||||||
|
Ua |
U A |
U Nn |
220 |
|
607,07 |
387,07; |
|
|
||
|
Ub |
UB |
UNn |
110 |
|
j190,5 |
607,07 |
717,07 |
j190,5; |
||
|
Uc |
UC |
U Nn |
110 |
|
j190,5 |
607,07 |
717,07 |
j190,5. |
||
3. |
Определяем фазные (линейные) токи |
|
|
||||||||
|
|
|
Ia |
Ua |
387,07 |
17,6. |
|
|
|||
|
|
|
|
Za |
|
|
22 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Действующее значение тока:
Ia = 17,6 A.
Ib |
Ub |
|
717,07 j190,5 |
8,659 j32,594 . |
Z b |
|
j22 |
||
|
|
|
200