Некоторые определения из теории бинарных отношений

Бинарное отношение на множестве A–  это некоторое подмножествопар (a,b),a,bAна декартовом произведенииAA. Таким образом, задать отношение, это значит задать каким-то образом подмножествоAAпар элементов, удовлетворяющих данному отношению.

Базовые свойства отношений

Дляx,y,zA:

1. рефлексивность, если xx;

2. симметричность, если xyyx;

3. транзитивность, если (xy)&(yz)xz;

4. антирефлексивность, если из xyxy;

5. асимметричность ,если либо xy, либоyxне выполняется;

6. антисимметричность, если (xy)&(yx)x=y.

Основные типы отношений

Тип отношения	Базовые свойства
	1	2	3	4	5	6
Эквивалентность	+	+	+
Толерантность	+	+
Строгий порядок			+	+	(+)	(+)
Квазипорядок	+		+
Нестрогий порядок	+		+			+

(+) –  данное свойство вытекает из остальных.

Виды измерительных шкал

Наименование шкал	Инвариантные отношения	Число состояний сравнения (эталонов)	Примеры
Номинальная (наименований, классификационная)	Эквивалентность состояний	N	Каталог образцов цветов, формы и т.п.
Порядковая (ранговая)	Эквивалентность и строгий порядок состояний	N	Шкала твёрдости (Мосса), шкала силы ветра (Бофорта), силы землетрясений (Рихтера)
Интервальная	Эквивалентность и строгий порядок состояний и интервалов между ними	2	Календарное время, температурные шкалы Цельсия, Фаренгейта
Масштабная	Эквивалентность и строгий порядок состояний, интервалов между ними и частных	1	Шкалы величин систем СГС, СИ
Натуральная (абсолютная)	- " -	0	Подсчёт числа элементов множества (кардинальные числа), арифметика целых чисел

Номинальная шкала (шкала наименований, классификационная)

Получение результатов в этой шкале подразумевает выполнение минимальных требований в множестве измеряемых величин, отражающих состояние объекта, а именно, все множество значений измеряемой величины разбивается на непересекающиеся подмножества - классы эквивалентности. Все элементы, принадлежащие одному такому подмножеству, считаются неразличимыми (и в этом смысле эквивалентными) с точки зрения данной процедуры измерения. В каждом классе эквивалентности выделяется один (вообще говоря, произвольный) элемент, который принимается за эталон (образец). Процедура измерения состоит в том, чтобы определить, к какому классу эквивалентности относится конкретное значение измеряемой величины. Результату измерения приписывается метка (наименование) соответствующего эталона.

Измерения в номинальной шкале предполагают задание отношения (~) эквивалентности на множестве Aзначений измеряемой величины, что равносильно выполнению следующих свойств (аксиом):

1. рефлексивность: x~x xA;

2. симметричность: x~y  y~x x,yA;

3. транзитивность: (x~y)&(y~z)  x~z x,y,zA.

Частным случаем эквивалентности является равенство, при этом каждый класс эквивалентности состоит из одного единственного элемента - эталона. Предполагается, что относительно любых двух измеряемых значений x,yможно узнать, находятся они в отношении ~ или нет.

Примеры измерений в номинальных шкалах: почтовые адреса, государственные номера автомобилей, названия болезней (результат диагноза), результат распознавания образов.

Допустимые операции: результат измерений в номинальной шкале – это условные символы, обозначающие каждый класс эквивалентных значений, поэтому непосредственно с данными в номинальной шкале можно выполнять только одну операцию: проверки ихсовпаденияилинесовпадения(принадлежность или непринадлежность к одному и тому же классу эквивалентности). Результат такой операции на всем множестве измеренных данных A={x₁,...,x_N} можно выразить с помощью символа Кронекера (дискретный аналог двумерной дельта‑функции):

Полный комплект сравнений образует NNматрицу=(_ij). Эта матрица симметрична и на главной ее диагонали – единицы. Уже над элементами этой матрицы можно выполнять такие операции, как:

– подсчет числа «попаданий» в k‑й классn_k=_j_kj;

– вычисление относительных частот классов p_k= n_k/N;

– выполнение различных процедур статистической обработки, использующих только операции проверки результатов измерения на совпадение (тесты на относительных частотах, критерий согласия и т.п.).