- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. ВВЕДЕНИЕ В ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
- •1.1. Функции одной переменной
- •1.2. Функции многих переменных
- •ЗАДАЧИ
- •2. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •2.1. Задачи оптимизации при отсутствии ограничений
- •2.2. Метод множителей Лагранжа
- •ЗАДАЧИ
- •3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- •3.1. Постановка задачи
- •3.3. Методы решения задач нелинейного программирования
- •3.4. Градиентные методы оптимизации
- •3.5. Квадратичные методы оптимизации
- •3.6. Учет ограничений в градиентных методах оптимизации
- •3.7. Последовательный симплексный метод
- •3.10. Методы случайного поиска
- •3.11. Глобальный поиск
- •3.12. Многокритериальные задачи
- •ЗАДАЧИ
- •4. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Двойственные задачи ЛП
- •4.3. Методы решения задач линейного программирования
- •ЗАДАЧИ
- •5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •5.1. Транспортные задачи
- •5.2. Задачи целочисленного программирования
- •5.3. Задача выбора вариантов
- •5.4. Дискретное программирование
- •5.5. Задача коммивояжера
- •ЗАДАЧИ
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КИБЕРНЕТИКИ
Методы оптимизации Часть II
Учебное пособие
Электронное издание
Красноярск
СФУ
2014
УДК 519.7(07)
ББК 22.18.73 М 34
Составитель: Масальский Геннадий Борисович
М 34 Математические основы кибернетики. Методы оптимизации: учебнометодическое пособие [Электронный ресурс] / сост. Г.Б. Масальский. – Электрон. дан. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2014. – Систем. требо-
вания: PC не ниже класса Pentium I; 128 Mb RAM; Windows 98/XP/7; Adobe Reader V8.0 и выше. – Загл. с экрана.
В пособии рассмотрены классические задачи математического программирования, нелинейного, линейного программирования и специальные задачи линейного программирования. Приведены алгоритмы решения указанных задач и программы в среде Mathcad и Matlab, иллюстрирующих работу методов оптимизации.
Предназначено студентам направления подготовки 220000 "Автоматика и управление", специальности 220402.65 "Роботы и робототехнические системы", а также для направления подготовки бакалавров 15.03.06 (221000.62) "Мехатроника и робототехника". Может служить пособием магистрам, аспирантам и инженерно-техническим работникам при формализации стохастических объектов управления и решении задач статической оптимизации.
УДК 519.7(07)
ББК 22.18.73 © Сибирский федеральный
университет, 2014
Электронное учебное издание
Подготовлено к публикации ИЦ БИК СФУ
Подписано в свет 24.11.2014. Заказ № 2678 Тиражируется на машиночитаемых носителях
Издательский центр Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79
Тел/факс (391)206-21-49. E-mail rio@sfu-kras.ru http://rio.sfu-kras.ru
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение............................................................................................................... |
4 |
||
1. Введение в задачи оптимизации.................................................................. |
5 |
||
|
1.1. |
Функции одной переменной .............................................................. |
5 |
|
1.2. |
Функции многих переменных ........................................................... |
11 |
|
Задачи ............................................................................................................. |
15 |
|
2. Классическая задача математического программирования ..................... |
16 |
||
|
2.1. |
Задачи оптимизации при отсутствии ограничений ......................... |
17 |
|
2.2. |
Метод множителей Лагранжа............................................................ |
21 |
|
Задачи ............................................................................................................. |
26 |
|
3. |
Нелинейное программирование .................................................................. |
27 |
|
|
3.1. |
Постановка задачи .............................................................................. |
27 |
|
3.2. |
Условия Куна-Таккера........................................................................ |
29 |
|
3.3. |
Методы решения задач нелинейного программирования .............. |
34 |
|
3.4. |
Градиентные методы оптимизации................................................... |
35 |
|
3.5. |
Квадратичные методы оптимизации................................................. |
40 |
|
3.6. |
Учет ограничений в градиентных методах оптимизации............... |
48 |
|
3.7. |
Последовательный симплексный метод........................................... |
58 |
|
3.8. |
Метод Нелдера-Мида ......................................................................... |
72 |
|
3.9. |
Комплекс-метод Бокса........................................................................ |
76 |
|
3.10. Методы случайного поиска ............................................................... |
78 |
|
|
3.11. Глобальный поиск............................................................................... |
82 |
|
|
3.12. Многокритериальные задачи ............................................................. |
84 |
|
|
Задачи ............................................................................................................. |
87 |
|
4. |
Линейное программирование ...................................................................... |
89 |
|
|
4.1. |
Постановка задачи .............................................................................. |
89 |
|
4.2. |
Двойственные задачи ЛП ................................................................... |
91 |
|
4.3. Методы решения задачи линейного программирования................ |
94 |
|
|
4.4. Идея симплекс-метода линейного программирования ................... |
98 |
|
|
Задачи ............................................................................................................. |
104 |
|
5. Специальные задачи линейного программирования................................. |
110 |
||
|
5.1. |
Транспортные задачи.......................................................................... |
110 |
|
5.2. |
Задачи целочисленного программирования..................................... |
115 |
|
5.3. |
Задача выбора вариантов ................................................................... |
119 |
|
5.4. |
Дискретное программирование ......................................................... |
126 |
|
5.5. |
Задача коммивояжера ......................................................................... |
129 |
|
Задачи ............................................................................................................. |
134 |
|
Библиографический список ............................................................................... |
135 |
||
Список используемых аббревиатур и обозначений ........................................ |
136 |
||
3
ВВЕДЕНИЕ
Многие задачи производственной деятельности связаны с поиском оптимального варианта, например, задача выбора оптимальной программы производства, рациональных способов транспортировки грузов, поиск оптимального проектного решения конструкции в условиях ограничений и выбранного критерия эффективности. Для решения таких задач разработаны методы оптимизации, используемые в математическом программировании (статическая оптимизация). Большинство приведенных в учебном пособии методов оптимизации реализованы в виде стандартных процедур в программных средах Mathcad и Matlab и других специализированных математических средах. Для выполнения инженерных задач статической оптимизации важно корректно осуществить постановку задачи, выбрать соответствующий метод оптимизации и оценить полученный результат. Этому посвящена 2-я часть учебного пособия.
Впервой главе дана постановка общей задачи математического программирования и некоторые геометрические и практические аспекты ее решения для функции одной и многих переменных.
Во второй главе дана постановка классической задачи математического программирования и методы ее решения, сопровождаемые примерами в сре-
де Mathcad.
Третья глава посвящена рекуррентным методам решения задач нелинейного программирования, в том числе в условиях ограничений. Подробно рассмотрены алгоритмы последовательного симплексного метода, разработанные сотрудниками кафедры «Робототехника и техническая кибернетика» политехнического института СФУ.
Вчетвертой главе дана постановка задачи линейного программирования и методы ее решения с использованием стандартных функций Mathcad и Matlab.
Впятой главе приведены постановки специальных задач линейного программирования (транспортные задачи, целочисленного программирования, выбора вариантов) и методы их решения в среде Mathcad и Matlab.
4