11

Лабораторная работа № 1 изучение эффекта холла в полупроводниках

Цель работы. Определить концентрацию и подвижность носителей заряда в Ge n- и р-типа, используя эффект Холла. Определить ширину запрещенной зоны Ge из температурной зависимости постоянной Холла в области собственной проводимости.

Краткие теоретические сведения

Рассмотрим действие магнитного поля на полупроводники помещенные в магнитное поле по которым протекает электрический ток. В перпендикулярное направлению движения зарядов. Пусть полупроводники имеют вид параллелепипеда сечением db. Электрическое поле (Е) направлено вдоль оси у, а магнитное поле (В) - вдоль оси: (рис.1.1). Под действием электрического поля носители заряда получают скорость направленного движения V_д - дрейфовую скорость: по полю - для дырок и против поля - для электронов.

Если носители заряда - дырки (рис. 1.1 а), то под действием магнитного поля B_z (силы Лоренца) они будут отклоняться на левую грань образца и на этой грани накопится положительный электрический заряд, а на противоположной грани останется нескомпенсированный отрицательный заряд.

Рис.1.1. Схема возникновения ЭДС Холла в полупроводниках с проводимостью: а - дырочная проводимость; б – электронная проводимость; в - смешанная проводимость

Если носители заряда - электроны (рис. 1.1 б), то под действием магнитного поля В (силы Лоренца) они будут также отклоняться на левую грань и накапливаться там, создавая отрицательный заряд, а на противоположной грани будет оставаться некомпенсированный поло­жительный заряд.

Сила Лоренца F, действующая на движущийся электрон или дыр­ку, перпендикулярна скорости движения электрона или дырки V_д и индукции магнитного поля В:

; (1.1)

нo

, (1.2)

поэтому

, (1.3)

где q_о - заряд электрона;

μ- дрейфовая подвижность;

m^* - эффективная масса носителя заряда;

- усредненное время релаксации.

То есть сила Лоренца не зависит от знака носителей заряда, а опре­деляется только направлением полей Е и В или плотностью тока j и В. Для случаев, представленных на рисунках 1.1 а и б, сила F направлена вдоль оси х. Носители заряда - электроны и дырки - отклоняются в одну и ту же сторону, если их скорость определяется электрическим полем Е.

Если в переносе электрического тока участвуют и дырки и электро­ны (смешанная проводимость, рис. 1.1 в), то картина значительно ус­ложняется. Если и подвижности и концентрация электронов и дырок одинаковы, то за счет взаимной компенсации электронов и дырок у боковых граней пластинки суммарный заряд будет равен 0. Если же это равенство не имеет места, т.е. концентрация или подвижность носите­лей одного знака больше, чем другого, то у боковых граней пластинки происходит частичная взаимная компенсация зарядов электронов и дырок и на гранях накапливаются заряды противоположных знаков, не равные нулю. Если противоположные грани полупроводникового об­разца заряжаются (рис. 1.1 а, б и в), то возникают поперечное по отно­шению к Е_у и B_z электрическое поле Холла Е_х и соответствующая разность потенциалов ЭДС U_x. Явление возникновения поперечной напряженности электрического поля Е_х в полупроводнике вследствие отклонения электронов или дырок проводимости, создающих электриче­ский ток плотностью j в поперечном магнитном поле с индукцией В_z, называется эффектом Холла. Поле Е_х носит название поля Холла, а соот­ветствующая ЭДС U_x - ЭДС Холла. Направление поля Холла Е_х зависит от знака носителей заряда, в рассматриваемых нами случаях (рис.1.1 а и б) Е_х направлено вправо в р-образце и влево в n-образце.

Численное значение ЭДС Холла для случая примесной проводимости можно получить исходя из следующих соображений. Процесс накопле­ния заряда на боковых гранях (рис. 1.1 а и б) будет продолжаться до тех пор, пока возникающая при этом сила электрического поля Холла q_оЕ_х не уравновесит силу Лоренца F (см. формулу 1.1.):

, (1.4)

откуда для напряженности электрического поля Холла получаем выражение

(1.5)

Учитывая, что V_д=μЕ_у , a U_x=E_xb, для ЭДС Холла в однородном магнитном поле В получим выражение

. (1.6)

Выражая подвижность носителей заряда (электронов или дырок) через плотность тока j

_, (1.7)

и учитывая, что ,

получим выражение для ЭДС Холла в виде

, (1.8)

где d -толщина образца в направлении магнитного поля;

n - концентрация носителей заряда.

Обозначив

, (1.9)

получим для ЭДС Холла выражение

. (1.10)

Коэффициент пропорциональности R называется постоянной Хол­ла или коэффициентом Холла.

При выводе выражения (1.10) не был учтен статистический характер распределения носителей заряда по скоростям, в результате чего ход рас­суждений оказался неправильным по крайней мере по двум причинам:

- равенство (1.4) не может выполняться одновременно для всех электронов (дырок), имеющих различные по величине и по направле­нию скорости;

- в действительности стационарное состояние наступает не тогда, когда сила Лоренца уравновешивает силу электрического поля Холла для каждого электрона, чего вообще не может быть, а тогда, когда перестает накапливаться заряд на боковых гранях образца, т.е. когда ток, создаваемый холловским полем, компенсирует ток на боковую грань, создаваемый магнитным полем.

Более строгое математическое описание эффекта Холла в слабых магнитных полях основано на решении кинетического уравнения Больцмана. Менее строгий, но более наглядный вывод можно получить из условия стационарности, т.е. холловское поле Ех (рис. 1.1) должно создать ток, равный и противоположный току, создаваемому магнит­ным полем.

Для случаев, представленных на рис. 1.1, носители заряда - элект­роны и дырки - отклонятся в одну и ту же сторону, если их скорость определяется электрическим полем. В результате действия полей Е_у и B_z и столкновений электроны и дырки будут двигаться по траектории в виде прямой линии, усредняющей отрезки циклоид, под углом φ к полю Е_у, т.е. вектор плотности тока j будет повернут на угол φ относи­тельно вектора Е_у (рис. 1.2 а и б), причем направление поворота зави­сит от знака носителей заряда. Таким образом должно протекать явле­ние в неограниченном образце.

Если полупроводник имеет конечные размеры в направлении оси ОХ, то в результате смещения зарядов (электронов и дырок) происходит накопление заряда на противоположных гранях и возникает поле Хол­ла Е_х, перпендикулярное и плотности тока j и магнитному полю В. При этом суммарное электрическое поле (Е=Е_х+Е_у) будет повернуто на угол φ_р или φ_n (рис. 1.2 в и г) относительно плотности тока j.

Рис. 1.2 Угол Холла в неограниченном (о, б) и ограниченном (в, г) полупроводниках

Плотность тока дырок по оси OY

. (1.11)

Под действием магнитного поля происходит отклонение вектора j_p от первоначального положения на угол φ_р (φ_р =μ В ) и создается со­ставляющая тока по оси ОХ:

. (1.12)

Аналогичные выражения можно записать для плотности тока элек­тронов:

; (1.13)

. (1.14)

Так как электроны и дырки отклоняются в одном направлении, то результирующий ток по оси ОХ равен их разности.

. (1.15)

Для плотности тока, создаваемого вдоль оси OX полем Е_х, можно записать выражение

j_x=σE_x=q₀E_x(μ_pp+μ_nn). (1.16)

Следовательно, для того чтобы заряды не накапливались, необходимо выполнение условия

j_x=j^x; (1.17)

или

; (1.18)

. (1.19)

Выразив Е_y через плотность тока j, протекающего через полупровод­ник, учитывая, что, получим выражение для коэффициента Холла из формул (1.10) и (1.19):

. (1.20)

При строгом расчете с учетом распределения скоростей носителей заряда по закону Максвелла для невырожденных полупроводников

, (1.21)

где А_р и А_n - постоянные, зависящие от механизма рассеяния носите­лей заряда в полупроводниках, называемые Холл-факторами. В случае упругого рассеяния для любого механизма рассеяния A_n = А_р =А.

В атомной решетке длина свободного пробега носителей заряда не зависит от энергии, а коэффициент А имеет значение

.

В случае рассеяния на ионах примеси

А ≈ 1,93 .

В вырожденных полупроводниках, так же как и в металлах, в элек­тропроводности принимают участие только электроны или дырки, на­ходящиеся на самых высоких энергетических уровнях вблизи уровня Ферми, следовательно, в этом случае не нужно учитывать распределение электронов или дырок по скоростям, так как можно считать, что все носители заряда обладают одной и той же скоростью.

В металлах и вырожденных полупроводниках A=1.

Нетрудно убедиться, что в случае примесной проводимости, ког­да n=0 или р= 0, формула (1.21) примет вид:

для электронного полупроводника

^, (1.22)

для дырочного полупроводника

. (1.23)

Если n = р (собственный полупроводник) и μ_p = μ_n , то в случае cобственной проводимости постоянная Холла равна нулю. Если n = р , а μ_p ≠ μ_n , то при А_n=A_p=A

. (1.24)

Согласно выражению (1.24), в области собственной проводимости знак ЭДС Холла соответствует знаку носителей, подвижность которых больше, т.е. знаку электронов.

Для вырожденных примесных полупроводников для коэффициента Холла имеем выражение (1.9).

Значение коэффициента Холла определяется свойством примесного образца: он обратно пропорционален концентрации носителей заря­да, и его знак совпадает со знаком носителей заряда (см. формулы (1.22) и (1.23)). У электронных полупроводников R отрицателен, у дырочных - положителен. Определив знак R, можно найти тем самым знак носителей заряда или тип проводимости. Знак R определяется по знаку ЭДС Холла.

Измерив на опыте величины U_x, В, I, d, входящие в формулу (1.10), можно вычислить коэффициент Холла R, а зная R, можно найти из выражения (1.9) или из выражений (1.22) и (1.23) концентрацию свободных электронов или дырок в исследуемом примесном полупроводнике в области примесной проводимости.

Измеряя, кроме того, удельную электропроводность примесного полупроводника (σ=q₀ n μ), можно определить подвижность носителей заряда:

μ=Rσ/A (1.25)

Таким образом, одновременные измерения удельной электропро­водности и коэффициента Холла позволяют получить все основные сведения о носителях заряда примесного полупроводника в области примесной проводимости: знак, концентрацию, подвижность.

В случае смешанной проводимости одновременное измерение по­стоянной Холла и удельной электропроводности не дает достаточных данных для определения подвижности и концентрации электронов.