2. Определение, способы задания и свойства функции

Определение:Если каждому элементухмножестваХпо какому-либо законуf(или по определенному правилуf) ставится в соответствие единственный элементуиз множестваУ, то говорят, что заданафункциональная зависимостьуотх по законуy=f(x)илифункция y=f(x).

При этом х называетсянезависимой переменной(илиаргументом),у – зависимой переменной(илизначением функции). МножествоХназываетсяобластью определения( илиобластью существования) функции и обозначаетсяD(f), множествоУназываетсяобластью значений функции и обозначаетсяЕ(f).

Если множество Хне оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменнойх, при котом формула имеет смысл. Например, для.

Задать функцию– значит, указать законfили правило, позволяющее, знаях.находить соответствующее значениеу.

Способы задания функции:

1. Аналитический– если функция задана с помощью формулы. Наиболее удобный способ для математического анализа, позволяющий исследовать функцию.

2. Табличный– если задана таблица значений функции, соответствующих определенным значением аргумента. Этот способ имеет широкое применение в экономике: экспериментальные измерения, таблицах бухгалтерской отчетности, банковской деятельности, статистических данных и т.п.

3. Графический– если задан график. Этот способ обычно используется с употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т.п.). В экономике используются графики, характеризующие динамику экономических параметров: объема ВВП, выручки, курсы валют, курса акций и т.п.

4. Словесный– если функция описывается правилом, составления, например, функция Дирихле:f(x)=1 , если x – рационально и f(x)=0, если x- иррационально.

5

Основные свойства функций

1. Четность и нечетность

Функция y=f(x)называетсячетной, еслихD(f)выполняются условия:--хD(f)иf(-х) =f(х);нечетной, еслихD(f)выполняются условия: хD(f)иf(-х)= f(х).

При этом D(f)называетсясимметричнойотносительно О(0;0). График четной функции симметричен относительно Оу, а график нечетной – относительно О(0;0).

2. Монотонность

Функция называется возрастающейна промежуткеID(f), есливыполняется условие:инеубывающей, если. Функция называетсяубывающейна промежуткеID(f), есливыполняется условие:иневозрастающей, если.

Например,fубывает прих(a;b), не убывает прих(b;с)и возрастает прих(с;d)

Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции на промежутке ID(f)называютсямонотоннымина этом промежутке, а возрастающие и убывающие –строго монотонными.

3. Ограниченность

Функция называется ограниченнойна множествеD(f), если существует такое число М>0, чтохD(f)выполняется неравенство. Или коротко:

если .

Графики таких функций ограничены прямыми . Например,у=sin x ограничена прямыми.

6

4. Периодичность

Функция называется периодическойна множествеD(f), если существует такое числоT>0, чтохD(f)значение(х+Т)D(f)иf(x+T)=f(x).

Число Т называется периодомфункции. Если Т – период, тоnTтакже является периодом, гдеn=±1;±2;…

Например, функция у=sin x является периодической, т.к.xD(f) sin(x+2π)=sin x. Аналогично можно доказать, что ±2π; ±4π; ±6π;… также являются периодами. Период 2π являетсянаименьшим положительными называетсяосновным.

Применение функций в экономике

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Наиболее часто используются следующие функции:

1.Функция полезности (функция предпочтений) – зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2.Производственная функция зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3.Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объёма производства от наличия или потребления ресурсов.

4.Функция издержек (частный вид производственной функции) –зависимость издержек производства от объёма продукции.

5.Функция спроса, потребления и предложения – зависимость объёма спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Например, исследуя зависимости спроса на различные товары от дохода можно установить уровни доходов , при которых начинается приобретение тех или иных товаров и уровни (точки) насыщениядля групп товаров первой и второй необходимости. (см. рис.1)

Рассматривая в одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель) (см. рис.2)

Изучая в теории потребительского спроса кривые безразличия (линии, вдоль которых полезность двух благ х и у одна и та же), например, задаваемые в виде xy=U, и линию бюджетного ограничения при ценах благ и доходе потребителяI, мы можем установить оптимальные количества благ , имеющих максимальную полезность(см. рис.3).

7

Предметы роскоши

Товары 2-ой необходимости

Товары 1-ой необходимости

рис.1

рис.2

рис.3 рис.4

Рассматривая функции издержек (полных затрат) с(q) и дохода фирмы r(q), мы можем установить зависимость прибыли π(q)=c(q)-r(q) от объёма производства q (см. рис.4) и выявить уровни объёма производства, при которых производство продукции убыточно (0<q<q) и приносит прибыль , дает максимальный убыток (q=q) и максимальную прибыль (q=q), и найти размеры этих убытков или прибыли.

8