1. Задача №1. Расчет коротких трубопроводов.

Схема расположения трубопровода.

При расчете коротких трубопроводов применяется уравнение Бернулли для двух выбранных сечений и уравнение неразрывности. Расчетные сечения выбраны мною в начале и в конце трубопровода.

Расчет необходимо начать с определения формы записи уравнения Бернулли. Для расчета систем водоснабжения и водоотведения обычно применяется уравнение Бернулли в форме напоров:

Если трубопровод имеет участки с разными диаметрами, то потери напора h при движении жидкости от сечения 1-1 к сечению 3-3 складываются из потерь во всех участках трубопровода. В каждом участке потери разделяются на потери по длине и местные.

1. Нахождение скорости потока в трубах.

Так как нам известен расход и диаметры труб трубопровода, то вначале определяются скорости движения жидкости на каждом участке трубопровода:

Для того чтобы рассчитать скорость потоков в трубах, нужно сперва найти

2. Расчет потерь напора в трубопроводах.

После определения скоростей и площадей труб трубопровода мы можем определить потери напора на всех участках.

Для определения потерь напора по длине трубы сперва рассчитаем число Рейнольдса, благодаря этому мы узнаем режим движения жидкости для всех участков с различными средними скоростями движения жидкости. Коэффициент гидравлического трения λ определяется по формулам, которые выбираются в зависимости от режима движения и области сопротивления.

Режимы движения:

1. Re<2300 – ламинарный

2. 2300<Re<4000 – неустойчивый

3. Re>4000 – турбулентный

Области сопротивления:

1. доквадратичная зона ( область шероховатых труб)

, =>

λ определяется по формуле Альтшуля

2. зона гидравлически гладких труб

, =>

λ определяется по формуле Блазиуса .

2. квадратичная зона шероховатых труб

, =>

λ определяется по формуле Шифринсона

Формулы для определения потерь напора на разных участках трубопровода:

• Формула расчёта потерь напора на повороте:

Для определения потерь напора на поворотах выбираем - коэффициент местного сопротивления. Этот коэффициент зависит от угла расположения наклонных участков относительно горизонтальной плоскости. В моей задаче угол на выходе=20⁰

Формула и ……………………………………………………………… дных системрасчёте потерь напора при внезапном расширении: .

• Расчёт потерь напора по длине: .

1. Потери напора при выходе потока из резервуара на участке a-b

_вых = 0,5 +0,303sin20⁰+0,226sin²20⁰ =0,63,

H_вых = _вых = 0,63= 0,183 м.вод.ст

2. Потери напора по длине b – c

,

квадратичная зона =>

,

м.вод.ст.

3. Потеря напора на внезапное сужение трубы c – d

_вс =

,

_вс ⁼м.вод.ст.

4. Потери напора по длине d-e

=м.вод.ст.

5. Потер напора при резком повороте третьей трубы на уголь 20⁰ на участке e-f

м.вод.ст.

6. Потери напора при внезапном расширении на участке e-f

м.вод.ст.

7. Потери напора по длине на участке f-k

доквадратичная зона

,

м.вод.ст.

8. Суммарные потери напора на участке a-k трубопровода

3. Определение уровня воды в резервуаре

Для определения уровня воды в напорном баке, которое было изначально, используем уравнение Бернулли:

м.вод.ст.

4. Расчет и построение напорной и пьезометрической линий.

После расчета потерь напора по длине и на местных сопротивлениях строятся линии полного и пьезометрического напоров. Для этого трубопровод разбивается на сечения. Количество сечений зависит от количества прямолинейных участков трубопровода и местных сопротивлений.

Следующее сечение выбирается в конце прямого участка трубы перед или в месте расположения следующего сопротивления. Полный напор в этом сечении будет меньше полного напора в предыдущем сечении на величину потерь напора этого сечения.

Таким образом, напоры в сечениях трубопроводов:

Пьезометрический напор меньше полного напора на величину скоростного; . Это нам необходимо подсчитать, чтобы начертить пьезометрическую линию.

Пьезометрические напоры в сечениях трубопроводов:

Для упрощения расчета необходимо помнить, что при равномерном движении жидкости линия пьезометрического напора параллельна линии полного напора. Таким образом, последовательно строятся линии полного и пьезометрического напоров по всей длине трубопровода. Благодаря построенным линиям напоров очень легко установить сечение трубопровода, в котором происходят наибольшие потери напора, что позволяет в случае необходимости предусмотреть мероприятия по их минимизации.

5. Расчет и построение напорной характеристики.

Потери в трубопроводах определяются его напорной характеристикой:

,

где ,

A - полное гидравлическое сопротивление трубопровода, ,

A₁, A₂, A₃ – гидравлические сопротивления отдельных участков трубопроводов.

Отсюда =1,5.10⁴+6,1.10⁴+0,052.10⁴=7,652.10⁴.

Напорная характеристики трубопровода =7,652.10⁴.(12.10^-3)²=12,1 м.вод.ст.

2. Задача № 2: Определение высоты всасывания насоса

Определить диаметр всасывающего трубопровода и предельную теоретическую высоту установки (всасывания) центробежного насоса с учетом и без учета запаса, обеспечивающего отсутствие кавитации, если насос перекачивает воду при температуре t = 50ºC, кинематическая вязкость ν = 0,658⋅10^-6 м²/с, расходе Q = 30 м³/ч и частоте вращения n = 2500 об/мин. Трубопровод стальной, длиной l = 13м, эквивалентной шероховатостью k_э = 1.6 мм, плотность воды ρ=999,73кг/м³, коэффициенты местного сопротивления: ξ_клап.=6, ξ_пов.=0,7.

1. Определение диаметра, средняя скорость всасывающего трубопровода

Из формулы расхода выражаем диаметр трубы:

где Q – расход, – площадь сечения, v – скорость.

По ГОСТу при диаметре трубы меньшей или равной 250мм, скорость течения в ней воды варьируется от 0.6 до 1 м/с.

Принимаем диаметр трубопровода равный 100 мм, при заданном расходе вычислим скорость в трубопроводе:

При d = 100 мм

.

2. Геометрическая высота всасывания:

Для расчета предельной геометрической высоты установки (всасывания) центробежного насоса воспользуемся уравнением Бернулли для сечения 1-1 и 2-2

= 0 - геометрическая высота,

=давление в среде,

=1-коэффициент Кориолиса,

=0 – скорость движения воды,

, т.к. высота соответствует высоте располож. насоса,

, т.к. скорость воды в трубопроводе постоянна,

Определим области гидравлического сопротивления, для этого вычислим:

- квадратичная зона

Вычислим предельную высоту установки насоса:

м.

3. Вычислим кавитационный запас:

м,

м.

3. Задача №3: Потокараспределения в кольцевой трубопроводной сети

Схема системы подачи и распределения воды: в окружностях указаны номера узлов; над дугами – номера дуг; на дуге 1 – насосная станция; направление дуги указывает направление потока

Напорно-расходная характеристика насоса:

1. Получение напоров в узлах и расходов по участкам

   1. Составим уравнение баланса расходов в каждом узле нашей сети

1. х₁ = -Q₁

2. x₂ + x₉ – x₁ = -Q₂

3. x₃ – x₂ = -Q₃

(1) 4. x₄ – x₃ –x₈ = -Q₄

5. x₅ – x₄ – x₆ = -Q₅

6. –x₅ = -Q₆

7. x₆ – x₇ = - Q₇ 8. x₇ + x₈ – x₉ = -Q₈ Построение математической модели кольцевого трубопровода. Составим матрицу полученной системы А (матрица инцинденций):

участок узел	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	-1	1	0	0	0	0	0	0	1
3	0	-1	1	0	0	0	0	0	0
4	0	0	-1	1	0	0	0	-1	0
5	0	0	0	-1	1	-1	0	0	0
6	0	0	0	0	-1	0	0	0	0
7	0	0	0	0	0	1	-1	0	0
8	0	0	0	0	0	0	1	1	-1

Обозначим:

	x1
	x2
	x3
x =	x4
	x5
	x6
	x7
	x8 x9

	Q1
	-Q2
	-Q3
b =	-Q4
	-Q5
	-Q6
	-Q7
	-Q8

Ах =b (1)

Система линейно-зависима, т.к. ∑Q_i=0 и при сложении всех уравнений системы (1) получили 0 = 0, поэтому одно уравнение можно вычеркнуть; получим усеченную матрицу A:

участок узел	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	-1	1	0	0	0	0	0	0	1
3	0	-1	1	0	0	0	0	0	0
4	0	0	-1	1	0	0	0	-1	0
5	0	0	0	-1	1	-1	0	0	0
6	0	0	0	0	-1	0	0	0	0
7	0	0	0	0	0	1	-1	0	0

и усеченный вектор:

	Q1
	-Q2
	-Q3
b =	-Q4
	-Q5
	-Q6
	-Q7

Тогда уравнение баланса расходов принимает вид:Ax = b (2)

2. Составляем уравнение Бернулли для всех участков сети, например для первого участка оно имеет вид:

Участок 1:

Аналогично составляя уравнения Бернулли для всех остальных участков, получим след. систему уравнений:

Аналогично составляя уравнения Бернулли для всех остальных участков, получим след. систему уравнений:

1. U₁- U₂= (S₁+S_н)|x₁|_·x₁-H₀

2. U₂ - U₃ = S_2·|x₂|_·x₂

3. U₃ - U₄ = S_3·|x₃|_·x₃

4. U₄ - U₅ = S_4·|x₄|_·x₄

(3) 5. U₅ - U₆ = S_5·|x₅|_·x₅

6. U₇ – U₅ = S_6·|x₆|_·x₆

7. U₈ – U₇ = S_7·|x₇|_·x₇

8. U₈- U₄ = S_8·|x_8·|x₈

9. U₂ – U₈ = S_9·|x₉|_·x₉

Выпишем матрицу системы (3) A^T– транспонированную матрицу

участок узел	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	-1	0	0	0	0	0	0
2	0	1	-1	0	0	0	0	0
3	0	0	1	-1	0	0	0	0
4	0	0	0	1	-1	0	0	0
5	0	0	0	0	1	-1	0	0
6	0	0	0	0	-1	0	1	0
7	0	0	0	0	0	0	-1	1
8	0	0	0	-1	0	0	0	1
9	0	1	0	0	0	0	0	-1

	-H0
	0
	0
f(0)=	0
	0
	0
	0
	0 0

	(S1+Sн)|x1|·x1
	S2·|x2|·x2
	S3·|x3|·x3
	S4·|x4|·x4
f(x)x=	S5·|x5|·x5
	S6·|x6|·x6
	S7·|x7|·x7
	S8·|x8·|x8
	S9·|x9|·x9

f(x)=f(x)x+f(0)

Тогда в матричном виде получили: A^T·U = f(x)x+f(0)

2. систему нелинейных уравнений

Таким образом, для нахождения неизвестных U и х имеем след.:

Ax = b (2) A^T·U = f(x)x+f(0) (3)

Из составленных уравнений мы получили 9 переменных Х, 8 переменных U, всего 9+8=17- переменных и 7+9=16 - уравнений. Чтобы решить систему уравнений (2) и (3) нужно задать значение одной из переменных, в нашем случае задан напор в первом узле Н₁=15м. Решая систему с помощью математической программой Maple,

> restart;with(linalg):with(LinearAlgebra):with(SumTools):Digits:=6:

check:=1;

x0:=vector([1,1,1,1,1,1,1,1,1]);

while check>0.001 do

A1:=matrix([

#[1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8],

[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],

[-1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],

[0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],

[0,0,-1,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],

[0,0,0,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],

[0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],

[0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],

#[0,0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],

[-(88.6545*10^(-6)+0.00129)*x0[1],0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0],

[0,-(336.7175*10^(-6))*x0[2],0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0],

[0,0,-(1023.84*10^(-6))*x0[3],0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0],

[0,0,0,-(4086.46*10^(-6))*x0[4],0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0],

[0,0,0,0,-(22451.55*10^(-6))*x0[5],0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0],

[0,0,0,0,0,-(13174.05*10^(-6))*x0[6],0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0],

[0,0,0,0,0,0,-(4086.46*10^(-6))*x0[7],0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1],

[0,0,0,0,0,0,0,-(2872.66*10^(-6))*x0[8],0,0,0,0,-1,0,0,0,1],

[0,0,0,0,0,0,0,0,-(1023.84*10^(-6))*x0[9],0,1,0,0,0,0,0,-1],

[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0]]):

f0:=vector([133,0,-22,-24,-25,-15,-28,-40,0,0,0,0,0,0,0,0,15]):

y:=evalm(evalm(1/A1) &* f0):

check:=abs(y[1]-x0[1]);

for i from 1 to 9 do

x0[i]:=y[i];

end do;

end do;

>

нашли следующие искомые значения расхода на участке х и напоры в узлах U:

Номер участка	Расход на участке , л/c
1	133,00
2	66,74
3	44,74
4	31,74
5	15
6	8,26
7	36,26
8	11,00
9	66,26

Номер узла	Напор в узле U, м
1	15
2	30,61
3	28,92
4	26,47
5	21,71
6	16,66
7	22,07
8	26,70

3. Рассчитаем потери напора ΔН, м на каждом участке:

1. ΔH₁ =U₁ - U₂ +Н_н = 15 – 30,61+17.18 = 1,57 м,

2. ΔH₂=U₂ – U₃ = 30,61 – 28,92 = 1,69 м, 3. ΔH₃=U₃ – U₄ = 28,92 – 26,47 = 2.45 м, 4. ΔH₄=U₄ - U₅ = 26,47 – 21,71 = 4,76 м,

5. ΔH₅=U₅ – U₆= 21,71 – 16,66 = 5,05 м, 6. ΔH₆=U₇ - U₅ = 22,07– 21,71 = 0,36 м,

7. ΔH₇=U₈ - U₇ = 26,70 – 22,07= 4,63 м,

8. ΔH₈=U₈ – U₄ = 26,70 – 26,47 = 0,23 м,

9. ΔH₉=U₂ –U₈ = 30,61 – 26,70 = 3,91 м.

4. Рассчитаем давление в узлах

P_избi = (U_i – z_i)·γ,

где z–высота узла (z_i=1, i=1,…,8),

γ – удельный вес,

γ = ρ·g = 1000· 9.81 = 9810 H/м³.

p_абсi= P_избi+p_атмi

5. Пьезометрические уклоны участков

.

6. Построение пьезометрическую линии выбранного участка

Построим пьезометрическую линию трубопровода с 1 до 6 узла

Строим график потерь напора по пути. Для этого выбираем путь 1-2-3-4-5-6 и строим соответствующий график, откладывая по горизонтальной оси длины участков, а по вертикальной – напоры, в соответствующих узлах

7. Потери напора в кольце

Сеть считается рассчитанной если при данных расходах по ветвям кольцевой сети потери напора по одной ветви кольца равны потерям напора по другой его ветви (рассмотрим на примере одного из наших циклов):

ΣH₁ = ∆H₂ + ∆H₃ - ∆H₈ - ∆H₉ =0

Если рассматривать движение воды относительно цикла то можно принять положительными потери напора, возникающие при движении воды по ходу часовой стрелки, а отрицательными - против хода часовой стрелки.

Считаю сумму потерь напора по первому циклу:

ΣH₁ = ∆H₂ + ∆H₃ - ∆H₈ - ∆H₉ =0

ΣH₁ = 1,69 + 2,45 – 0,23 – 3,91 = 0

Считаю сумму потерь напора по второму циклу:

ΣU₂ = ∆H₈ + ∆H₄ - ∆H₆ - ∆H₇ =0

ΣU₂ = 0,23 + 4,76 – 0,36 – 4,63 = 0

Считаю сумму потерь напора по третьему циклу:

ΣU₃ = ∆H₂ + ∆H₃ + ∆H₄ - ∆H₆ - ∆H₇ - ∆H₉ = 0

ΣU₃ = 1,69 + 2,45 + 4,76 – 0,36 – 4,63 – 3,91 = 0

Так как сумма потерь напора по каждому из циклов равна нулю.

Таблица результатов:

Номер участка	Длина участка l, м	Диаметр d, м	Материал	Удельное гидравлическое сопротивление A = 2 (л/с)-2	гидравлическое сопротивление участка S = A ∙ l м ∙(л/с) -2	Расход на участке х, л/с	Потери напора на участке ∆H , м	Пьез. Уклоны i
1	405	400	чугун	0,2189 ∙ 10-6	88,655 ∙ 10-6	133,00	1,57	3,88∙10-3
2	355	300	чугун	0,9485 ∙ 10-6	336,718 ∙ 10-6	66,74	1,69	4,76∙10-3
3	405	250	чугун	2,528 ∙ 10-6	1023,840 ∙ 10-6	44,74	2,45	6,05∙10-3
4	505	200	чугун	8,092 ∙ 10-6	4086,46 ∙ 10-6	31,74	4,76	9,43∙10-3
5	605	150	чугун	37,11 ∙ 10-6	22451,55 ∙ 10-6	15	5,05	8,35∙10-3
6	355	150	чугун	37,11 ∙ 10-6	13174,05 ∙ 10-6	8,26	0,36	1,01∙10-3
7	505	200	чугун	8,092 ∙ 10-6	4086,46 ∙ 10-6	36,26	4,63	9,25∙10-3
8	355	200	чугун	8,092∙ 10-6	2872,66 ∙ 10-6	11,00	0,23	0,65∙10-3
9	405	250	чугун	2,528 ∙ 10-6	1023,84 ∙ 10-6	66,26	3,91	9,66∙10-3

Номер узла	Отбор в узле Q , л/с	Напор в узле H, м		Геом. Высот z		Изб. Давление pизб, па		Абс. Давление pабс,па
1	-133	15	1		137340,0		233400
2	0	30,61	1		290474,1		386532,1
3	22,0	28,92	1		273895,2		369955,5
4	24,0	26,47	1		249860,7		345920,7
5	25,0	21,71	1		203165,1		299225,1
6	15,0	16,66	1		153624,6		249684,6
7	28,0	22,07	1		206696,7		302756,7
8	19,0	26,70	1		252117,0		348117