Сопромат РПР V

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт/Факультет Архитектуры и строительства

Кафедра Сопротивления материалов и строительной механики

РАСЧЕТ СТУПЕНЧАТОГО ВАЛА НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

Отчет по расчетно-проектировочной работе №5

по дисциплине сопротивление материалов

Выполнил студент группы СМ-14-2 П.А.Чернышев

Принял доцент к.т.н В.П.Ященко

Иркутск 2015

Цель работы:

1. Построить эпюру крутящих моментов T_z;

2. Из условий прочности и жёсткости определить диаметры круглого поперечного сечения ступеней вала (d₁ и d₂);

3. Построить эпюру абсолютных углов закручивания φ.

Дано: Ступенчатый вал круглого поперечного сечения; L = 0.4 м; M₁ = 1.7 кН*м; M₂ = 2.4 кН*м; M₃ = 2.7 кН*м; материал – сталь: G = 0.8*10⁵ МПа; [τ] = 80 МПа; [θ°] = 0.4 град/м (см. приложение А).

1 Построение эпюры крутящих моментов T_z

Для начала необходимо будет сделать разрезы в каждой из составных частей вала. Затем, отбросив одну из частей, заменить ее действие системой крутящих моментов. В данной задаче под рассмотрение попадает крутящий момент T_z.

Итак, рассмотрим каждый из участков – всего их будет 3 (см. приложение А):

I участок: 0 ≤ Z₁ ≤ L

ΣM_Z = 0: T_z(Z₁) – M₂ = 0

Отсюда T_z(Z₁) = M₂ = 2.4 кН*м = const

II участок: 0 ≤ Z₂ ≤ 2*L

ΣM_Z = 0: T_z(Z₂) – M₂ + M₃ = 0

Отсюда T_z(Z₂) = M₂ - M₃ = 2.4 – 2.7 = -0.3 кН*м = const

III участок: Z₃ = 3*L (нет смысла проводить сечение между заделкой и последним участком, можно провести его как раз на границе участков L и 3L, так как в ступени вала диаметром d₂ будет действовать только один крутящий момент T_z(Z₃) = const)

ΣM_Z = 0: T_z(Z₃) – M₂ +M₃ – M₁= 0

Отсюда T_z(Z₃) = M₂ –M₃ + M₁= 2.4 – 2.7 + 1.7 = 1.4 кН*м = const

2 Из условий прочности и жёсткости определить диаметры круглого поперечного сечения ступеней вала (d₁ и d₂)

Из эпюры «T_z» видно, что в первой ступени вала – диаметром d₁:

T_max1 = 2.4 кН*м.

Из эпюры «T_z» также видно, что во второй ступени вала – диаметром d₂:

T_max2⁺ = 1.4 кН*м.

Теперь определим непосредственно диаметры поперечных сечений d₁ и d₂:

1 ступень:

Из условия прочности: τ_max ≥ T_max/W_ρ≤ [τ]

W_ρ = π*d³/16 – для круглого поперечного сечения

Отсюда d₁¹ ≥ = = 0.053 м = 53 мм

Из условия жёсткости: θ° = * ≤ [θ°]

I_ρ = π*d⁴/32 – для круглого поперечного сечения

Отсюда d₁² ≥ = = 0.081 м= 81 мм

Из этих вычислений видно, что больший диаметр – это диаметр d₁². Следовательно, берем d₁ = d₁² = 81 мм.

2 ступень:

Из условия прочности: τ_max ≥ T_max/W_ρ≤ [τ]

W_ρ = π*d³/16 – для круглого поперечного сечения

Отсюда d₂¹ ≥ = = 0.045 м = 45 мм

Из условия жёсткости: θ° = * ≤ [θ°]

I_ρ = π*d⁴/32 – для круглого поперечного сечения

Отсюда d₂² ≥ = = 0.071 м= 71 мм

Из этих вычислений видно, что больший диаметр – это диаметр d₂². Следовательно, берем d₂ = d₂² = 71 мм.

3 Построение эпюры абсолютных углов закручивания φ

Для того, чтобы построить эпюру абсолютных углов закручивания, необходимо рассчитать по закону Гука деформации при кручении в сечениях a, b, c, d и e данного вала и по этим значениям построить график. Этот график должен соответствовать эпюре Tz.

Для начала нужно провести эти самые поперечные сечения. В данном случае их будет пять (см. приложение А).

Найдем все эти деформации, как и было сказано выше, по закону Гука:

φ =

Сразу определим значения моментов инерции I_ρ1 и I_ρ2:

I_ρ1 = π*d₁⁴/32 = 3.14*0.081⁴/32 = 4.226*10^-6 м⁴

I_ρ2 = π*d₂⁴/32 = 3.14*0.071⁴/32 = 2.495*10^-6 м⁴

φ_a = 0 – заделка (сечение закреплено)

φ_b = φ_ab = = = = 2.8*10^-3 рад

φ_c = φ_b + φ_bc = φ_b + = φ_b + = 2.8*10^-3 + = 11.2*10^-3 рад

φ_d = φ_c + φ_cd = φ_c + = φ_c + = 11.2*10^-3 + = 10.5*10^-3 рад

φ_e = φ_d + φ_de = φ_d + = φ_d + = 10.5*10^-3 + = 13.34*10^-3 рад

Приложение А