Vmfmm_VvStat_307_2011
.pdfв) Находим накопленные частоты для каждого из интервалов вариационного ряда γ1 = n1 = 2 ; γ2 = n1 +n2 =3;
γ3 = n1 +n2 +n3 =9 ; γ4 = 20 ; γ5 = 26 ; γ6 =30 ; γ7 =33 ; γ8 =36 ;
Подставляя частоты в третью строку таблицы, получим кумулятивный ряд.
г) Откладывая накопленные частоты по оси ординат, интервалы по оси абсцисс, получим кумулянту (рис. 8).
Рис. 8
Откладывая на оси абсцисс накопленные частоты, а на оси ординат границы интервалов, получим огиву (рис. 9).
Рис. 9
10
2. Средние значения признака совокулности
1°. Генеральной средней при наличии в совокупности повторяющихся значений признака называется среднее значение изучаемого признака в генеральной совокупности
|
|
|
∑Ni xi |
(∑Ni = N) |
(1) |
|
X |
= |
|||||
N |
||||||
|
|
|
|
|
где Ni - частота признака xi .
При отсутствии повторений признака используется формула средней арифметической
|
|
|
|
|
|
|
∑xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = |
, |
|
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выборочной средней называется среднее значение |
||||||||||||
признака в выборочной совокупности |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
х = |
∑хini |
|
(∑ni = n) |
(3) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∑хi |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
или |
х = |
, если признак не повторяется. |
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяется |
разностью |
|||
|
Ошибка |
репрезентативности |
|||||||||||
между выборочной средней и генеральной средней |
|
|
. |
||||||||||
= х − Х |
2°. Генеральной долей называется отношение количества единиц М, обладающих данным признаком, к численности генеральной совокупности
p = MN .
Выборочная доля определяется отношениемw = m / n , где т — количество единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности п. Ошибка репрезентативности определяется разностью = w − p.
11
Пусть значения признака X генеральной или выборочной совокупности разбиты на несколько групп. Групповой средней называется среднее арифметическое значение признака в группе. Общая средняя совокупности равна средней арифметической групповых средних, взвешенных по объемам групп.
Если варианты xi — большие числа, то с целью
упрощения расчета из каждой варианты следует вычесть некоторое число х0 , близкое к среднему значению, т. е.
перейти к условным вариантам u = хi − х0 . В этом случае среднее арифметическое выборки определяется по формуле
х = |
∑niui |
+ х |
(4) |
|
|||
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
Средним степенным к - го порядка искомого признака |
|||
некоторой выборки называется величина |
|
||
х = 3 хк , |
(х > 0) |
|
|
к |
i |
|
|
если к = 1 среднее степенное есть среднее |
арифметическое; |
к = 2 — среднее квадратическое ; к = 3 — среднее кубическое и т.д. При к = -1 среднее степенное называется средним гармоническим.
Среднее геометрическое определяется по формуле
х = n х1n1 х2n2 ...хini (∑ni = n, хi > 0) . i
2.1. Из генеральной совокупности взята выборка, определяемая распределением
хi |
2 |
4 |
ni |
11 |
8 |
6 |
9 |
10 |
12 |
|
|
14 |
5 |
|
|
|
|
12
Найти ошибку репрезентативности, если генеральная средняя равна Х = 6 .
Решение. Находим выборочную среднюю |
|
|||
х = |
∑ni хi |
= |
11 2 +8 4 +12 6 +14 9 +5 10 |
= 6,04 |
|
n |
|
50 |
|
Ошибка репрезентативности равна
=х − Х = 6,04 −6 = 0,04.
2.2.В цехе из 1000 рабочих 126 женщин. В выборочной совокупности из 100 человек их оказалось 14.Найти ошибку репрезентативности.
Решение. Генеральная доля женщин в генеральной
совокупности равна p = M |
= 126 = 0,126. Выборочная доля |
|||||||||||||||
w = m |
|
|
14 |
|
|
|
N |
1000 |
|
|
|
|
|
|
||
= |
= 0,14. |
|
Таким |
|
образом, |
ошибка |
||||||||||
|
||||||||||||||||
n |
100 |
|
|
|
|
= 0,14 −0,126 = 0,014. |
|
|||||||||
репрезентативности будет |
|
|||||||||||||||
2.3. Совокупность разбита на две группы |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
хi |
|
1 |
|
2 |
4 |
|
yi |
|
1 |
|
3 |
6 |
||||
ni |
|
3 |
|
7 |
5 |
|
mi |
|
2 |
|
4 |
4 |
||||
Найти общую среднюю совокупности. |
|
|||||||||||||||
Решение. Найдем групповые средние |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
х = |
3 1+7 2 +5 4 |
= 37 |
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 +5 +7 |
|
15 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y = |
2 1+4 3 +4 6 |
=3,8. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 +4 +4 |
|
|
|
|
|
|
||||
Общую среднюю находим по групповым средним |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
15 |
37 +10 3,8 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Z = |
|
15 |
|
|
|
=3. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
15 +10 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
2.4. Пусть известно распределение роста мужчин
Рост. см |
Число |
Рост. см |
Число |
|
мужчин |
|
мужчин |
150-158 |
1 |
174-178 |
13 |
154-158 |
4 |
178-182 |
10 |
158-162 |
7 |
182-186 |
5 |
162-166 |
9 |
186-190 |
2 |
166-170 |
12 |
190 и выше |
2 |
170-174 |
15 |
|
|
|
|
|
|
Найти среднее арифметическое роста.
Решение. Считаем, что среднее значение искомого признака примерно 170 см. Воспользуемся формулой (4), необходимые вычисления по которой приведены в таблице
интервал |
|
ni |
Середина |
|
ui |
niui |
||
|
|
|
интервала |
|
|
|
||
150-158 |
|
1 |
|
152 |
|
|
-18 |
-18 |
154-158 |
|
4 |
|
156 |
|
|
-14 |
-56 |
158-162 |
|
7 |
|
160 |
|
|
-10 |
-70 |
162-166 |
|
9 |
|
164 |
|
|
-6 |
-54 |
166-170 |
|
12 |
|
168 |
|
|
-2 |
-24 |
170-174 |
|
15 |
|
172 |
|
|
2 |
30 |
174-178 |
|
13 |
|
176 |
|
|
6 |
78 |
178-182 |
|
10 |
|
180 |
|
|
10 |
100 |
182-186 |
|
5 |
|
184 |
|
|
14 |
70 |
186-190 |
|
2 |
|
188 |
|
|
18 |
36 |
190 и |
|
2 |
|
192 |
|
|
22 |
44 |
выше |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
80 |
|
|
|
|
|
136 |
|
х = |
∑niui + х = 136 |
+170 |
=171,7см. |
|
|||
|
|
n |
0 |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
3. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение
1°. Генеральной дисперсией называется средняя
взвешенная квадратов отклонений значений признака от их среднего значения
Dz = ∑Ni (хi − хz )2 ) / N . |
(1) |
i |
|
Выборочной дисперсией называется средняя взвешенная квадратов отклонений значений признака от их среднего значения в выборке
D = ∑ni (хi − х )2 ) / n . |
(2) |
i |
|
Дисперсия равна разности среднего квадратов значений и квадрата общей средней
D = х2 −(х)2 = ∑ni хi |
2 |
− ∑ni хi 2 . |
(3) |
||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2°. Выборочным средним квадратическим отклонением
называется квадратный корень из выборочной дисперсии
σ = D |
(4) |
Исправленная выборочная дисперсия обозначается за s2 и определяется по формуле
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(∑ni хi )2 |
|
|
|
|
|
|
∑i ni (хi |
− х)2 |
|
∑ni х |
i − |
|
|
|
|
s |
2 |
= |
= |
n |
|
. |
(5) |
||||
|
n − |
1 |
|
n −1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее квадратическое отклонение в этом случае равно
σ = s2 .
Если n>30, то формулы (2) и (5) практически совпадают.
Средним абсолютным отклонением δ называется среднее арифметическое абсолютных отклонений
15
δ = (∑ni |
|
хi − х |
|
)/ ∑ni. |
|
|
(6) |
|||
|
|
|
|
|||||||
Если первоначальные варианты большие числа, то в |
||||||||||
условных вариантах |
|
u = х − х |
и |
u =Сх , где |
С =10к , |
|||||
|
|
i |
i |
0 |
|
i |
i |
|
||
исправленная дисперсия равна |
|
|
|
|
|
|
||||
su2 =(∑niui |
2 −(∑niui )2 / n)/ n(n −1), |
(7) |
||||||||
а сами дисперсии будут |
s2 = s2 |
|
и |
s2 = s2 |
/ C2 . |
|
||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|
3°. Коэффициентом вариации называется отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (в процентах):
υ = хs 100% .
Размахом вариации называется разность между наибольшим и наименьшим значениями признака.
4°. Если совокупность разбита на группы, то групповой дисперсией называется дисперсия значений признака некоторой группы, относительно ее групповой средней
Dх =(∑ni (хi − х)2 )/ ∑ni .
Если известны дисперсии каждой группы, то внутригрупповой дисперсией называется средняя арифметическая дисперсия, взвешенная по объемам групп.
Dвгр =(∑Ni Diгр )/ N =(nDх +mDy )/ (m +n),
где N— объем всей совокупности; Ni -объем группы.
Если известны групповые средние и общая средняя, то межгрупповой дисперсией называется дисперсия групповых средних относительно общей средней
Dмгр =(m(x − z )2 +m(y − z )2 )/ (m +n),
где z - общая средняя.
Общей дисперсией называется дисперсия признака всей
совокупности относительно общей средней |
|
Dоб = (∑ni (xi − z )2 +∑mi (yi − z )2 )/ (m +n). |
(8) |
16
3.1. Дана выборочная совокупность распределения
xi |
1 |
3 |
4 |
8 |
ni |
5 |
25 |
20 |
10 |
Найти: а) выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение; б) среднее абсолютное
отклонение. |
|
|
|
|
|
|
Решение. а) Найдем общую среднюю |
|
|
|
|
|
|
|
x = 5 1+25 3 +20 4 +10 8 = |
240 |
= 4. |
|
|
|
5 +25 +20 +10 |
60 |
|
|
|
|
|
Выборочная дисперсия по формуле (2) равна |
|
|
|
|
||
D = |
5(1−4)2 +25(3 −4)2 +20(4 −4)2 +10(8 −4)2 |
= |
23 |
; |
||
|
6 |
|||||
60 |
|
|
|
|
Дисперсия, найденная по формуле (3), дает тот же самый результат
|
|
D = 5 12 +25 32 +20 42 +10 82 |
−42 |
= 23 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Среднее квадратическое отклонение равно |
σ = |
23 = |
1,95789. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
б) Для нахождения среднего абсолютного отклонения |
|||||||||||||||||||||||||||||
воспользуемся формулой (6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
δ = |
5 |
|
1−4 |
|
+25 |
|
3 −4 |
|
+20 |
|
4 −4 |
|
+10 |
|
8 −4 |
|
|
= |
4 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
3.2. Совокупность разбита на две группы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
хi |
|
1 |
|
4 |
|
5 |
|
|
yi |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|||||||||||||
ni |
|
1 |
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
mi |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
17
Найти: а) групповые дисперсии; б) внутригрупповую дисперсию; в) межгрупповую и общую дисперсию.
Решение. а) Найдем групповые средние:
x = (∑ni xi )/ ∑ni = (1 1+6 4 +3 5)/ (1+6 +3)= 4;
y = (∑mi yi )/ ∑mi = (1 1+3 3 +2 4)/ (1+3 +2)= 3.
Искомые групповые дисперсии:
Dx = (∑ni (xi − x )2 )/ n = (1(1−4)2 +6(4 −4)2 +3(5 −4)2 )/10 =1, 2; Dy = (∑mi (yi − y )2 )/ m = (1(1−3)2 +3(3 −3)2 +2(4 −3)2 )/ 6 =1;
б) Внутригрупповая дисперсия равна
Dвгр =(10 1, 2 +6 1)/16 = 89.
в) Найдем общую среднюю
z = |
1 1+6 4 +3 5 +1 1+3 3 +2 4 |
= |
29 |
(1+6 +3)+(1+3 +2) |
8 . |
Межгрупповая дисперсия равна
D |
|
|
|
|
|
29 2 |
|
|
|
|
29 2 |
|
15 |
|||
мгр |
= 10 |
|
4 |
− |
|
|
+6 |
|
3 |
− |
|
|
/16 |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
64. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим общую дисперсию по формуле (8)
|
|
|
|
29 2 |
+ |
6 |
|
4 − |
29 2 |
+ |
3 |
|
|
29 |
2 |
|
|
− |
29 |
2 |
|||||
Dмгр = |
1 1− |
8 |
|
|
8 |
|
5 − |
8 |
+ |
1 1 |
8 |
|
+ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
+3 |
|
3 |
− |
29 |
2 |
+2 |
|
4 |
− |
29 |
2 |
|
|
/16 = |
87 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
8 |
|
|
8 |
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие значения 80, 83, 87, 89, 91. Найти выборочную и исправленную дисперсии ошибок измерений.
Решение. Найдем сначала выборочную среднюю
18
x =80 + 0 +3 +7 +9 +11 =86. 5
Выборочная дисперсия, вычисленная по формуле (2), будет равна
D = |
∑(xi |
− x )2 |
= |
(80 −86)2 +(83 −86)2 +(87 −86)2 +(89 −86)2 +(91−86)2 |
=16. |
|
n |
5 |
|||||
|
|
|
По формуле (5) найдем исправленную дисперсию s2 = nn−1 D = 54 16 = 20.
3.4. Найти исправленную выборочную дисперсию по заданному распределению
|
xi |
|
|
|
151 |
|
|
155 |
|
|
|
159 |
|
|
|
ni |
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
Решение. |
Переходя к условным вариантам ui |
= xi −155, |
|||||||||||
получим распределение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ui |
|
|
-4 |
|
0 |
|
|
|
4 |
|
|||
|
ni |
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|||
|
Исправленную выборочную дисперсию условных вариант |
|||||||||||||
находим по формуле (7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
392 |
|
|
|||
|
s2 = |
2 16 +5 0 +3 16 − (2(−4)+5 0 +3 4) |
|
|
= |
. |
|
|||||||
|
9 |
|
|
45 |
|
|||||||||
|
u |
|
10 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Поскольку искомая дисперсия равна дисперсии условных |
|||||||||||||
вариант, то |
|
|
|
= 392 . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
s2 = s2 |
|
|
|
|
|
|
u 45
3.5. Найти исправленную выборочную дисперсию по заданному распределению
19