ММФпрограмма

Содержание дисциплины

Теоретический курс

«Методы математической физики»

1. Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных.

Уравнение малых поперечных колебаний струны. Уравнение продольных колебаний ступеней и струн. Энергия колебаний струны. Поперечные колебания мембраны. Уравнения для напряженности электрического и магнитного поля в вакууме. Граничные и начальные условия. Редукция общей задачи. Постановка краевых задач для случая многих переменных.

2. Классификация уравнений в частных производных второго порядка.

Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Канонические формы уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными. Канонические формы уравнений с постоянными коэффициентами.

3. Уравнения гиперболического типа (методы решения).

Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера. Физическая интерпретация. Неоднородное уравнение. Устойчивость решения. Полуограниченная прямая и метод продолжений.

Метод разделения переменных. Уравнение свободных колебаний струны. Интерпретация решения. Неоднородные уравнения. Общая первая краевая задача. Краевые задачи со стационарными неоднородностями. Общая схема метода разделения переменных.

4. Уравнения параболического типа.

Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Постановка краевых задач. Линейная задача о распространении тепла. Распространение тепла в пространстве. Постановка краевых задач. Функция источника для уравнения параболического типа. Неоднородное уравнение теплопроводности. Краевые задачи для полуограниченной прямой. Распространение тепла в ограниченном стержне.

5. Уравнения эллиптического типа.

Задачи, приводящие к уравнению Лапласа. Постановка краевых задач. Формулы Грина. Основные свойства гармонических функций. Решение краевых задач методом функций Грина. Свойство симметрии функции Грина. Особенности функции Грина для двухмерного и трехмерного случая. Физическая интерпретация функции Грина. Метод электростатических изображений. Функция источника для полупространства, полуплоскости, для сферы и круга.

6. Сферические функции

Полиномы Лежандра. Производящая функция и полиномы Лежандра. Рекуррентные формулы. Уравнение Лежандра. Ортогональность полиномов Лежандра. Норма полиномов Лежандра. Нули полиномов Лежандра. Присоединенные функции Лежандра. Норма присоединенных функций. Сферические функции, сферические гармоники, шаровые функции. Ортогональность системы сферических функций.

Полиномы Чебышёва-Эрмита. Дифференциальная формула. Рекуррентные формулы. *Норма полиномов Чебышёва-Эрмита. Функции Чебышёва-Эрмита. *Уравнение Чебышёва-Эрмита.

Полиномы Чебышёва-Лагерра. Дифференциальная формула. Рекуррентные формулы. Уравнение Чебышёва-Лагерра. Ортогональность и норма полиномов Чебышёва-Лагерра. Обобщенные полиномы Чебышёва-Лагерра.

Простейшие задачи для уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера. Гармонический осциллятор. Ротатор. Движение электрона в кулоновском поле.

7. Цилиндрические функции.

Общее уравнение теории специальных функций. Поведение решений в окрестности х = а, к(а)=0. Постановка краевых задач. Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя. Степенные ряды. Функции Бесселя 1-го рода n-го порядка. Рекуррентные формулы. Функции полуцелого порядка. Асимптомический порядок цилиндрических функций. Краевые задачи для Уравнения Бесселя. Функции Ханкеля и Неймана. Функции мнимого аргумента. Функции К_о(х).

8. Гипергеометрические функции.

Уравнение гипергеометрического типа и его решение. Основные свойства функций гипергеометрического типа. Рекуррентные соотношения. Разложения в степенные ряды. Функциональные соотношения и асимптотические представления. Представления различных функций через функции гипергеометрического типа. Некоторые элементарные функции. Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита. Функции второго рода. Цилиндрические функции.

9. Обобщенные функции.

Основные и обобщенные функции, действия с ними. Интегральные преобразования обобщенных функций. Фундаментальные решения основных дифференциальных операторов. Классическая и обобщенная задачи Коши.

10. Некоторые нелинейные уравнения математической физики.

Уравнения Бюргерса и Кортевега-де Фриза. Задача Стефана о фазовом переходе. Некоторые методы решения нелинейных уравнений.

Вопросы для самостоятельной работы студентов по курсу

«Уравнения математической физики»

Форма отчётности, - реферат.

1.Цилиндрические функции, их асимптотика при малых и больших значениях аргумента. Уравнения Бесселя, модифицированое уравнение Бесселя. Норма и нули цилиндрических функций.

2.Уравнение Лежандра. Полиномы Лежандра, второе линейно-независимое решение уравнения Лежандра. Производящая функция, мультипольное разложение. Норма полиномов Лежандра.

3. Присоединённые полиномы Лежандра, их норма. Сферические функции. Собственные колебания сферы.

4.Сферические функции и полиномы Лагерра. Разделение переменных в уравнении Шредингера для атома водорода. Ортогональность и норма полиномов Лагерра.

5. Задача Коши для волнового уравнения. Фундаментальное решение волнового оператора (n= 1, 2, 3). Формулы Даламбера, Пуассона и Кирхгофа.

6. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Фундаментальное решение оператора теплопроводности. Тепловой потенциал. Формула Пуассона.

7. Метод разделения переменных. Сведение к задаче Штурма- Лиувилля. Свойства собственных функций и собственных значений задачи Ш.-Л.. Теорема Стеклова о разложимости в ряд Фурье.

8. Задачи Дирихле и Неймана. Функция Грина для задачи Дирихле, её свойства. Решение краевой задачи с помощью функции Грина. Формула Пуассона.

9.Нелинейные уравнения и системы уравнений, линеаризация. Метод возмущений. Пример: Система уравнений гидродинамики идеальной жидкости.

10. Метод характеристик. Характеристические направления дифференциальных операторов. Решения задач методом характеристик.

Обязательным является знание постановки основных задач математической физики, типов и физического смысла граничных условий, а так же определений и свойств обощённых функций.

Формы текущего и промежуточного контроля

Вопросы к экзамену.

1. Производящая функция и полиномы Лежандра.

2. Рекуррентные формулы.

3. Уравнение Лежандра.

4. Ортогональность и норма полиномов Лежандра.

5. Присоединенные функции Лежандра.

6. Норма присоединенных функций Лежандра.

7. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах.

8. Частные решения уравнения Эйлера.

9. Сферические гармоники и шаровые функции.

10. Ортогональность системы сферических функций.

11. Производящая функция и дифференциальная формула для полиномов Чебышёва-Эрмита.

12. Рекуррентные формулы.

13. Уравнение Чебышёва-Эрмита.

14. Норма полиномов Чебышева-Эрмита.

15. Функции Чебышёва-Эрмита.

16. Производящая функция и дифференциальная формула для полиномов Чебышёва-Лагерра.

17. Рекуррентные соотношения для полиномов Чебышёва-Лагерра

18. Уравнение Чебышёва-Лагерра.

19. Ортогональность и норма полиномов Чебышёва-Лагерра.

20. Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра.

21. Стационарное уравнение Шредингера.

22. Гармонический осциллятор.

23. Ротатор.

24. Движение электрона в кулоновском поле.

25. Общее уравнение теории специальных функций.

26. Вывод уравнения Бесселя.

27. Функции Бесселя.

28. Рекуррентные формулы

29. Функции полуцелого порядка

30. Краевые задачи для уравнения Бесселя

31. Функции Ханкеля и Неймана.

32. Функции мнимого аргумента.

33. Приведение к каноническому виду уравнения гипергеометрического типа

34. Рекуррентные соотношения.

35. Разложения в степенные ряды.

36. Некоторые элементарные функции.

37. Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита.

38. Функции второго ряда.

39. Цилиндрические функции.

40. Дифференцирование обобщенных функций.

41. Интегральные преобразования обобщенных функций.

42. Фундаментальные решения дифференциальных операторов.

Литература (основная):

1. В.С.Владимиров. Уравнения математической физики. М. Наука.1981.

2. В.Я.Арсенин. Методы математической физики и специальные функции. М. Наука. 1984.

3. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики. М. Наука. 1977.

Сборники задач:

1. В.С.Владимиров, В.П.Михайлов, А.А.Вашарин, Х.Х.Каримова,

Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин. Сборник задач по уравнениям математической физики. М. Наука. 1982.

2. Б.М.Будак, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов. Сборник задач по математической физике.

3. А.Г. Аленицын, А.С. Благовещенский, М.А. Лялинов, В.В. Суханов. Методы математической физики (сборник задач). С-Пб. С-ПбГУ. 2001.

4. В.И. Агошков, П.Б. Дубовский, В.П. Шутяев, Г.И. Марчук. Методы решения задач математической физики. М. Физматлит. 2002.

5. И.В. Колоколов, Е.А. Кузнецов, А.И. Мильштейн, Е.В. Подивилов, А.И. Черных, Д.А. Шапиро, Е.Г. Шапиро. Задачи по математическим методам физики. М. УРСС. 2000.

Дополнительная литература:

1. Р. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики. тома 1, 2. М. Гостехиздат, 1951.

2. И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях в частных производных. М.: Наука, 1961.

3. С. Л. Соболев, Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

4. М. А. Шубин, Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦНМО, 2003.

5. А. Ф. Никифоров, В.Б. Уваров, Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978.

6. А. Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

7. Д. П. Голоскоков, Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. – СПб.: Питер, 2004.

8. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифферециальные уравнения математической физики. – Из-во МГТУ им. Баумана, 2002.

9. А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов, Лекции по математической физике.

10. С. Фарлоу, Уравнения с частными производными…

11. Е.А. Власова, В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, Приближенные методы математической физики.

12. В. Босс, Лекции по математике, т 11, Уравнения математической физики.

.