ГОСЫ / вопрос 6 / Лекция №5

Лекция №5

Взаимное расположение двух и трех плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями. Угол между плоскостями.

Лемма 5.1. (Условие параллельности вектора и плоскости). Пусть в аффинной системе координат задана плоскость общим уравнением и вектор . Вектор параллелен плоскости тогда и только тогда, когда выполняется условие: .

Доказательство.

Пусть . Докажем, что выполняется условие .

1. Рассмотрим . Отложим от неё вектор .

2. Пусть , тогда вектор . Запишем условие равенства векторов и :

3. Так как , то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, т.е.

, где

(точка принадлежит плоскости ).

(<=) повторить все рассуждения в обратном направлении.

Ч.т.д.

Лемма 5.2. Пусть в прямоугольной системе координат плоскость  задана общим уравнением: . Тогда вектор перпендикулярен плоскости .

Доказательство.

Пусть вектор параллелен плоскости . Применяя условие параллельности вектора и плоскости, получим: вектор перпендикулярен плоскости .

Ч.т.д.

Взаимное расположение двух плоскостей.

В аффинной системе координат поверхность, заданная уравнением первой степени, является плоскостью. Выясним, при каких условиях два уравнения и :

I. Определяют одну и ту же плоскость;

II. Определяют две параллельные плоскости;

III. Определяют две пересекающиеся плоскости.

I. Условия, при которых уравнения и определяют одну и ту же плоскость.

Теорема 5.3.

Для того чтобы два уравнения и в аффинной системе координат определяли одну и ту же плоскость, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты в уравнениях были пропорциональны.

Необходимость:

Дано: уравнения плоскостей : (1)

(2)

Докажем: .

Доказательство:

1. Данные уравнения определяют одну и ту же плоскость . Значит, векторы нормалей и  будут коллинеарны, т.е. или

.

2. Подставим выражения в уравнение (1) и выразим :

3. Найдем отношение : .

4. Значит,

Достаточность:

Дано: уравнения: : (1)

(2)

.

Докажем, что уравнения (1) и (2) задают одну и ту же плоскость .

Доказательство:

1. Выразим из условия теоремы коэффициенты :

2. Подставим данные выражения в уравнение (1):

или

3. Значит, уравнениями (1) и (2) задаётся одна плоскость в аффинной системе координат.

II. Условие параллельности двух прямых.

Теорема 5.4.

Два уравнения и в аффинной системе координат определяют две параллельные плоскости, если коэффициенты при переменных в уравнениях пропорциональны.

III. Условие пересечения двух прямых.

Теорема 5.5.

Два уравнения и в аффинной системе координат определяют две пересекающие плоскости, если коэффициенты при переменных в уравнениях не пропорциональны.

Взаимное расположение плоскостей и определяется и рангами расширенной и основной матриц, соответствующих системе уравнений данных плоскостей:

Пусть:

• - расширенная матрица ранга

• -основная матрица ранга .

1. Если , то плоскости и пересекаются;

2. Если , то плоскости и совпадают;

3. Если , то плоскости и параллельны.

Пучок плоскостей.

Определение 5.6. Пучком плоскостей называется совокупность плоскостей пространства, проходящих через одну прямую.

Пусть плоскости и пересекаются, причем

: ; :

Помножим уравнения плоскостей и соответственно на числа и q,одновременно не равные 0, и сложим полученные равенства:

(*)

, где

Коэффициенты при х,у,z не равны нулю одновременно, т.к. одновременное равенство нулю позволяет говорить, что

. По условию параллельности плоскостей имеем, что => противоречит условию.

Уравнение (*) есть уравнение плоскости, проходящей через общую прямую двух данных плоскостей.

— уравнение пучка плоскостей.

Пример.

Задача: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2,3,1) и прямую, определяемую плоскостями:х+у-2z+1=0 и 2x-y+z-4=0.

Определение 5.7. Совокупность всех плоскостей, проходящих через точку пересечения трех основных плоскостей, называются связкой плоскостей.

—уравнение связки.

Расстояние от точки до плоскости.

Задача: Найти расстояние от точки до плоскости : .

Решение:

1. , 

2. 

3. Вектор  =>

4. Так как точка принадлежит плоскости, то имеем:

5. или - расстояние от точки Мо до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Задача: Найти расстояние между параллельными плоскостями и , заданными своими уравнениями: и

.

Угол между плоскостями.

Определение 5.8. Углом между плоскостями называется любой из двух двугранных углов, образованный этими плоскостями.

—формула угла между и .