ГОСЫ / вопрос 6 / Лекция №4

Лекция №4

Плоскость в пространстве: способы задания плоскости, общее уравнение плоскости, геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении плоскости,

геометрический смысл знака многочлена

В некоторой аффинной системе координат для любой плоскости можно задать направляющее двухмерное подпространство.

Определение 4.1. Двухмерным подпространством L трёхмерного пространства V называется множество всех векторов, параллельных некоторой плоскости пространства V.

Определение 4.2. Направляющим подпространством называется подпространство, определяемое двумя неколлинеарными векторами.

Например, пространство можно считать заданным, если известны два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости.

На плоскости с направляющим подпространством рассмотрим некоторую точку . Точка лежит в плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны, и, следовательно, когда их смешанное произведение равно нулю .

Используя это равенство, запишем уравнение плоскости , заданной различными способами.

Способы задания плоскости	Данные и чертеж	Условия для составления уравнения	Уравнение
Уравнение плоскости, заданной точкой и направляющим подпространством	,-направляющее подпространство плоскости , , -произвольная точка плоскости
Уравнение плоскости, заданной тремя точками	, , -произвольная точка плоскости
Уравнение плоскости в отрезках	Пусть  отсекает соответствующие отрезки на осях координат: на - отрезок длиной ; на оси - отрезок длиной ; на оси - отрезок длиной .	- произвольная точка плоскости .
Уравнение плоскости, заданной точкой и перпендикулярным вектором	Определение 4.3. Вектор  перпендикулярен плоскости, если он перпендикулярен любому вектору, принадлежащему этой плоскости , -произвольная точка плоскости
Параметрические уравнения плоскости	,-направляющее подпространство плоскости , , -произвольная точка плоскости	- компланарны, т.е.

Общее уравнение плоскости.

Пусть плоскость  задана точкой и своим направляющим подпространством ( и ), тогда в аффинной системе координат плоскость задается уравнением: .

Раскрывая по элементам первого столбца определитель

имеем уравнение вида: .

Уравнение вида называется общим уравнением прямой, где одновременно не равняются нулю (так как векторы и не являются коллинеарными) и

.

Значит, общее уравнение прямой есть уравнение первой степени. Иными словами: любая плоскость есть поверхность первой степени.

Теорема 4.4. Поверхность в пространстве, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени , есть плоскость. При этом векторы принадлежат направляющему подпространству этой плоскости и какие-либо два из них образуют базис этого подпространства.

Доказательство.

1. По условию теоремы в уравнении коэффициенты одновременно не равны нулю. Пусть . Помножив обе части равенства на и сгруппировав, имеем: или (1)

2. Сравнивая уравнение (1) с уравнением плоскости, заданной точкой и направляющим подпространством, и учитывая, что , имеем: уравнение (1), а значит и ему равносильное , определяет плоскость с направляющим подпространством .

3. Вектор принадлежит этому подпространству, так как .

4. Если в общем уравнении плоскости то или . В каждом из этих случаев аналогичными рассуждениями убеждаемся в том, что уравнение определяет плоскость, и векторы принадлежат направляющему подпространству этой плоскости

Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении плоскости.

Пусть плоскость задана общим уравнением . Выясним особенности в расположении данной плоскости относительно системы координат. Возможны следующие случаи:

1. —плоскость проходит через начало координат.

2. => . Если , то плоскость проходит через ось .

3. => . Если , то плоскость проходит через ось .

4. . Если , то плоскость проходит через ось .

5. . Если , то плоскость совпадает с координатной плоскостью .

6.  . Если , то плоскость совпадает с координатной плоскостью .

7. . Если , то плоскость совпадает с координатной плоскостью .

Геометрический смысл знака многочлена .

Всякая плоскость разбивает пространство на два полупространства.

Точки и принадлежат одному полупространству, если после подстановки их координат в многочлен вида , получаем значение одного знака, иначе точки и принадлежат разным полупространствам.

Рассмотрим в аффинной системе координат плоскость , заданную общим уравнением. Вектор перпендикулярен к плоскости . Точка не принадлежит плоскости .

1. Зафиксируем на плоскости некоторую точку и отложим от нее вектор , т.е. .

2. Проведем через произвольную точку пространства прямую, параллельную вектору и пересекающую плоскость  в точке .

3. Так как векторы и коллинеарны, то , где R. Иначе в координатах, имеем: .

4. Рассмотрим многочлен и подставим вместо их значения:

(*)

5. Пусть - полупространство с границей , содержащее точку . Из равенства следует, что точка принадлежит полупространству тогда и только тогда, когда . Из равенства (*), учитывая, что приходим к выводу, что точка принадлежит полупространству тогда и только тогда, когда . Это и есть неравенство, определяющее полупространство . Неравенство определяет другое полупространство с границей .

Задача: Даны точки , , и плоскость . Среди указанных точек выбрать те, каждая из которых с началом координат лежит по разные стороны от данной плоскости.