Линейная статистическая модель (линейная регрессия от одного параметра)

При моделировании химико – технологических процессов (ХТП) во многих случаях связь между входными (x) и выходными (y) параметрами можно аппроксимировать линейным полиномом (зависимостью).

, (7)

Для получения вида математической модели необходимо определить коэффициенты уравнения регрессии b₀иb₁. Для этого применяется метод наименьших квадратов.

(8)

Таким образом, процедура нахождения коэффициентов регрессии сводится к задаче определения минимума функции. Необходимое условие минимума функции является равенство нулю частных производных функции по исходным величинам (коэффициентам).

(9)

(10)

(11)

Решая систему уравнений, выражаем коэффициенты b₀ и b₁.

(12)

(13)

После вычисления коэффициентов необходимо провести статистический анализ полученного уравнения регрессии с целью проверки модели на адекватность.

Статистические модели в виде нелинейных полиномов.

Параболическая регрессия.

П

(14)

ри составлении статистических моделей ХТП часто возникает необходимость использовать уравнения нелинейной формы, в частности полином второй степени.

Коэффициенты регрессии определяем по методу наименьших квадратов.

(15)

Приравняем к нулю частные производные функции по коэффициентам b₀,b₁,b_2.

(16)

Выполнив преобразования, получим систему линейных уравнений с тремя неизвестными (b₀, b₁,b₂).

(17)

Введем обозначения:

; ;;;

(18)

; ;.

С учетом принятых обозначений система будет иметь следующий вид:

(19)

Определим неизвестные коэффициенты b₀, b₁, b₂.

(20)

(21)

(22)

.

После решения системы уравнений и вычисления коэффициентов b₀,b₁,b₂проводится статистический анализ полученного уравнения регрессии. Аналогичным образом будут определяться коэффициенты параболы любого порядка. Исследование уравнения проводится по статистическим критериям. Однако в этом случае не требуется вычислять выборочные коэффициенты корреляции. Адекватности уравнения регрессии эксперименту можно добиться, повышая степень полинома. Однако при этом все коэффициенты следует вычислять заново, так как существует корреляция между коэффициентами.

Экспериментальная часть.

Задание № 5.

Определить зависмость теплоемкости воды и гексана от температуры.

Исходные данные:

	O2	Бутан С4Н10
Т,К	Cp,Дж/(моль*К)	Cp,Дж/(моль*К)
300	29,37	86,06
400	30,1	108,95
500	31,08	129,41
600	32,09	147,03
700	32,99	161,96
800	33,74	174,89
900	34,36	186,15
1000	34,87	195,34

Объем выборки N=8.

Для описания зависимости теплоемкости кислорода от температуры выберем полином второго порядка:

.

В результате расчетов, выполненных по программе, были получены следующие значения коэффициентов регрессии: b₀=24,62708333 b₁=0,047055357 b₂=-1,88512E-05

Коэффициент парной корреляции рассчитываем по формуле (4) или (5).

В результате уравнение регрессии будет иметь вид:

Результаты расчета представлены в табл. 1.

Температура, К	Теплоемкость, кал/моль К		Абсолютная погрешность
	Срэксп	Сррасч
300	29,37	30,25	-0,88
400	30,1	31,2	-1,1
500	31,08	32,09	-1,01
600	32,09	32,9	-0,81
700	32,99	33,65	-0,66
800	33,74	34,33	-0,59
900	34,36	34,95	-0,59
1000	34,87	0,10611	34,76389

Среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле

,

Величина ошибки S=2,13172 показывает, что расчетные значения достаточно хорошо совпадают с экспериментальными, а, следовательно, зависимость теплоемкости воды от температуры можно описать полиномом второго порядка. Значение коэффициента парной корреляции равноr_xy=0,995164.

.

Для описания зависимости теплоемкости бутана от температуры выберем полином второго порядка:

.

В результате расчетов, выполненных по программе, были получены следующие значения коэффициентов регрессии: b₀=8,308;b₁=0,5097;b₂= -0,00018878

. Коэффициент парной корреляции рассчитываем по формуле (4) или (5).

В результате уравнение регрессии будет иметь вид:

Результаты расчета представлены в табл. 1.

Температура, К	Теплоемкость, кал/моль К		Абсолютная погрешность
	Срэксп	Сррасч
300	86,06	108,79	-22,73
400	108,95	128,84	-19,89
500	129,41	146,65	-17,24
600	147,03	162,2	-15,17
700	161,96	175,49	-13,53
800	174,89	186,54	-11,65
900	186,15	195,34	-9,19
1000	195,89	0,4713	195,4187

Среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле:

,

Величина ошибки S=49,94045

показывает, что расчетные значения достаточно хорошо совпадают с экспериментальными, а, следовательно, зависимость теплоемкости бутана от температуры можно описать полиномом второго порядка. Значение коэффициента парной корреляции равно r_xy=0,989608.

.

8