§ 3 Взаимное расположение пространственных прямых.

Взаимное расположение пространственных прямых будем исследовать по коэффициентам их канонических уравнений.

Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями:

;

• Признак параллельности пространственных прямых:

(28)

Для практического решения задач очень полезен тот факт, что уравнения параллельных пространственных прямых могут быть преобразованы к такому виду, когда они отличаются только координатами точек, вычитаемых в числителе, т.е.

;

.

Чтобы убедиться, что это уравнения параллельных прямых, а не два уравнения одной и той же прямой, нужно координаты точки подставить в уравнение. Если в результате этой подстановки символьная пропорция не превратится в верные числовые равенства, то точкана принадлежит прямойи мы имеем дело с уравнениями двух параллельных прямых, а не с одной.

Пример 28.Даны три последовательные вершины параллелограмма:,,. Найти уравнения всех сторон параллелограмма и уравнение плоскости, в которой он лежит (Рис. 20).

Решение.Канонические уравнения сторонинайдем по формуле (26 ).

Так как ипроходит через точку, то уравненияможно получить из уравнений, заменив в числителях координаты точкина координаты точки:

.

Аналогично выводится уравнение из уравнения:

.

Для вывода уравнения плоскости параллелограмма нужно найти три непараллельных вектора, лежащих в этой плоскости. Два вектора уже есть это векторыи. Обозначимпроизвольная точка искомой плоскости. Введем третий вектор

.

Смешанное произведение этих векторов запишем в координатах и приравняем его к нулю.

• Угол между скрещивающимися пространственными прямыми:

(29)

• Признак перпендикулярности скрещивающихся пространственных прямых:

(30)

Пример 29.Доказать перпендикулярность прямых

и

Решение.Из канонических уравненийимеем:.

Для прямой нужно перейти от общих уравнений к каноническим. Во-первых, найдем точку, заведомо лежащую на. Для этого положим , что. Затем решим систему уравнений

.

Окончательно получаем .

Теперь найдем направляющий вектор . Для этого вычислим

«Укоротим» этот вектор в 7 раз и новый «укороченный» вектор возьмем в качестве направляющего для.

Окончательно . Вычислим скалярное произведение

. Действительно, иперпендикулярны.

Глава 4. Прямая и плоскость в пространстве

§ 1 Вступление

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве будем исследовать по каноническим уравнениям прямой и общему уравнению плоскости.

Из уравнения прямой сразу получаем направляющий вектор этой прямой , а из уравнения плоскостиее нормальный вектор.

§ 2 Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

• Признак параллельности.

• Признак перпендикулярности.

• Угол между прямой и плоскостью.

Замечание. По определению угол между прямой и плоскостью это угол  между этой прямой и ее проекциейна плоскость. Но для вычислений это определение неудобно. Поэтому вместо угла ищут угол   угол между прямой (а точнее, ее направляющим вектором) и нормальным вектором плоскости. Поскольку ,то .

(31)

Пример 30.Даны вершины тетраэдра: ,,и. Найти угол, образованный ребромс плоскостью основания.

Решение.Канонические уравнения бокового ребра и уравнение плоскости основаниябыли выведены ранее в примерах 16 и 26:

; .

Из этих уравнений сразу находим  направляющий вектор ребра и нормальный вектор плоскости основания . Осталось координаты этих векторов подставить в формулу (31):

Следовательно .

• Точка пересечения прямой и плоскости.

Схема решения такова:

1. от канонических уравнений прямой переходим к ее параметрическим уравнениям;

2. полученные параметрические формулы подставляем в уравнение плоскости; находим параметр ;

3. найденное значение параметра подставляем в параметрические формулы прямой;

4. найденные значения ,,и являются координатами точки пересечения прямойс плоскостью.

Пример 31.Найти точку пересечения прямой и плоскости:

и

Решение. ОбозначимQточку пересеченияс. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой:

Выражения для ,,черезподставим в уравнение плоскостии найдем параметр:.

Подставимв выражения,,черези найдем координаты точкиQ:

.

Окончательный ответ: .

• Проекция точки на прямую в пространстве.

Прежде всего подчеркнем, что в пространстве точка проектируется на прямую с помощью перпендикулярной плоскости (Рис. 25), а не с помощью перпендикулярной прямой, как на плоскости.

Схема решения такова:

1. строим плоскость, проходящую через точку А перпендикулярно прямой ( направляющий векторпрямойберется в качестве нормального к плоскости);

2. от канонических уравнений перейдем к параметрическим уравнениям ;

3. параметрические уравнения подставляем в уравнение плоскостии находим то значение параметра, которое соответствует точке пересеченияс. Эта точкаи является проекцией точкина прямую.

Пример 32.Найти проекцию точкина прямую

.

Решение. Найдем уравнение проектирующей плоскости:

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой :

Выражения для ,,черезподставим в уравнение проектирующей плоскостии найдем параметр:

.

Найдем точку пересечения с, подставивв параметрические уравнения:

.

Окончательный ответ: .

• Проекция точки на плоскость в пространстве.

Схема решения такова:

1. опускаем перпендикуляр из точки А на плоскость , т.е. строим его канонические уравнения;

2. от канонических уравнений этого перпендикуляра переходим к параметрическим уравнениям;

3. полученные параметрические формулы подставляем в уравнение плоскости; находим параметр ;

4. найденное значение параметра подставляем в параметрические формулы перпендикуляра; найденные значения,,и являются координатами проекцииточкиА на плоскость .

Пример 33.Найти проекцию точкина плоскость, проходящую через точки:,,.

Решение.Найдем уравнение плоскости треугольника (Рис. 27):

h

Для удобства дальнейших вычислений умножим все уравнение на (1), тогда

Из точки опустим перпендикулярна плоскость треугольника и найдем канонические уравнения этого перпендикуляра:

.

От этих канонических уравнений перейдем к параметрическим уравнениям:.

Полученные выражения ,,черезtподставим в уравнение плоскости треугольника и найдем значение параметра :

.

Подставим найденное значение в параметрические формулы:

. В итоге .

Пример 34.Найти уравнение плоскости, проходящей через прямуюи точку.

Решение.

Способ 1.Идея решениянайти три три компланарных вектора (Рис. 28).

Из канонических уравнений прямой имеем данные: направляющий вектор прямой ; точка, лежащая на прямой . Так как , то .

Точки и лежат в искомой плоскости. Введем вектор . Он также лежит в искомой плоскости. Традиционно обозначим произвольная точка плоскости . Введем вектор . Заметим, что вместо вектора можно было ввести вектор , который также принадлежит плоскости .

Таким образом, получили три компланарных вектора ,и . Их смешанное произведение равно нулю, что в координатах дает уравнение :

или после деления на 2 .

Способ 2.Идея решениянайти три точки, заведомо лежащие в искомой плоскости. (Рис. 29). Две точки уже естьэтои . Найдем еще одну точку на прямой . Для этого пропорцию в канонических уравнених приравняем к :. Затем положим, разобьем пропорцию на три равенства и найдем:,и. Следовательно, . Тогда уравнение плоскостиполучится по формуле (15) из уравнения:

Для упрощения поделим все уравнение на (2):

.

Способ 3.Идея решениянайти искомую плоскость как плоскость пучка плоскостей, проходящих через прямую.

“Разорвем” пропорцию на два уравнения:Тогдаобщие уравнения . Построим уравнение пучка: . Координаты точкидолжны удовлетворять этому уравнению, т.е.

.

Подставим в уравнение пучка

.

Окончательно после деления на 3 получаем: .